Ejemplo de funciones en dependencia linear isn ' t obvio

Question

El Wronskian nos permite determinar si un conjunto de funciones (posiblemente de las soluciones de una ecuación diferencial) son linealmente dependientes o no. Pero, para cada ejemplo en el libro, es muy obvio si una de las funciones es una combinación lineal de los otros. Los ejemplos en el uso de la libreta de 3-5 funciones. ¿Cuál sería un ejemplo de un pequeño número de funciones donde esto no es obvio?

O es la aplicación de la Wronskian la mayoría de trabajar con grandes conjuntos de funciones... donde el gran número hace que sea difícil saber si son dependientes o no?

Answer 1

La aplicación de Wronskian me gusta tener en cuenta es que el invertibility de la matriz de Vandermonde implica que el conjunto de ${ e^{\lambda z} : \lambda \in \mathbb{C} }$ es linealmente independiente. El Wronskian también demuestra para arriba, por ejemplo, en el método de variación de parámetros.

Answer 2

Puede ser oculto en varias formas. Si las funciones se expresan como funciones trigonométricas la dependencia obtiene oculta fácilmente. Piensa en $sin^2(x)$ y $cos(2x)$. Como las funciones messier obtiene más fácilmente.

El problema con el Wronskian es que las funciones deben ser suficientemente diferenciables y que necesita poder calcularlo. Pensar en la función del indicador en los racionales y la función del indicador en los irrationals. Éstos son dependientes, pero el Wronskian no ayudará.

Answer 3

¿Has intentado probar con la mano (es decir, sólo utilizando la definición de independencia lineal) que $\sin \theta$ y $ \cos \theta$ son linealmente independientes? Por supuesto, esto puede hacerse con la ayuda del Wronskian.

¿Y qué decir de $e^{i\theta}$ y $ e^{i (\theta + \frac{\pi}{2})}$? Esto es geométricamente evidente, pero: ¿ves la diferencia entre independencia lineal sobre el verdadero y números complejos?

EDITAR. Sólo para añadir aún un ejemplo más elemental: ¿qué $\sin^2\theta $ y $\cos^2\theta$?