Dimensión del subespacio del anillo polinómico sobre $\mathbb R$

Question

Supongamos $P_n =\{ f(x) \in \mathbb R[x] : \deg(f(x)) \leq n\}$$W = \{ p(x) \in P_n : p(x) = p(1-x) \}$. Encontrar la dimensión del subespacio $W$.

En primer lugar estoy demostrando que $W$ es un subespacio de $P_n$. Supongamos $a,b \in \mathbb R$$p, p' \in P_n$,$p(x) = p(1-x)$$p'(x) = p'(1-x)$ . Ahora $(ap +bp')(x) = ap(x) + bp'(x) = ap(1-x) + bp'(1-x) = (ap +bp')(1-x)$. Por lo tanto $W$ es un subespacio de $P_n$.

Claramente $1 \in W$, lo $\mathbb R \subset W$, vamos, si es posible uno de grado del polinomio $ax +b \in W$, luego $ax + b = a(1-x) +b$ $\Rightarrow x = 1/2$, así, uno de grado del polinomio no pertenece a $W$.

si $ax^2 + bx +c \in W$,$ax^2 + bx + c = a(1-x)^2 + b(1-x) +c$, obtenemos $a=-b$

Similar si $ax^3 + bx^2 + cx + d \in W$, llegamos $a = 0$ , lo cual no es posible.

nos encontramos con que extraño de grado del polinomio no pertenecen a $W$. Por lo tanto la Dimensión de $W$ $\frac{n}{2}$ si $n$ es incluso y $\frac{n+1}{2}$ si $n$ es impar.

Yo estaría muy agradecido si alguien que revise mi solución.

Answer 1

Que $X={p(x)\in P_n:p(x)=p(-x)}$ y que $p(x)\in X$. Si escribimos $p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ $a_0,a_1,\cdots,a_n\in\mathbb{R}$ escalares, entonces tenemos\begin{align} &\left{\begin{array}{ll} a_1x+a_3x^3+\cdots+a_nx^n=0&\mbox{if }n\mbox{ is odd};\ a_1x+a3x^3+\cdots+a{n-1}x^{n-1}=0&\mbox{if }n\mbox{ is even}. \end{array}\right.\[10pt] \Longrightarrow\quad & \left{\begin{array}{ll} a_1=a_3=\cdots=a_n=0&\mbox{if }n\mbox{ is odd};\ a_1=a3=\cdots=a{n-1}=0&\mbox{if }n\mbox{ is even}. \end{array}\right.\[10pt] \Longrightarrow\quad & \dim(X) = \left{\begin{array}{ll} \frac{n+1}{2}&\mbox{if }n\mbox{ is odd};\ \frac{n}{2}+1&\mbox{if }n\mbox{ is even}. \end{array}\right. \end{align} finalmente, considerar el lineal mapa $T:X\rightarrow W$ $T(p)(x)=p\left(x-\frac{1}{2}\right)$. $T$ Es un isomorfismo, concluimos que $W=T(X)$ tiene la misma dimensión que $X$.

Answer 2

Cualquier polinomio $p(x)$ grado $\le n$ puede ser expresado como una combinación lineal de polinomios de la forma $\left(x-\frac{1}{2}\right)^i$ donde $0\le i\le n$. Una forma de ver esto es para escribir la expansión de Taylor de $p(x)$$x=\frac{1}{2}$. Esta colección de polinomios es un conjunto linealmente independiente, por lo que es una base para $P_n$.

Tenga en cuenta que si $g(x)=x-\frac{1}{2}$,$g(1-x)=1-x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-x$, lo $g^2(x)=g^2(1-x)$.

De ello se desprende que $\left(\frac{1}{2}-x\right)^{2k}$ $W$ cualquier $k$ tal que $2k\le n$. Es claro que estos son linealmente independientes.

Uno puede mostrar que si $i$ es impar, entonces $\left(x-\frac{1}{2}\right)^i$ no $W$, con un argumento como el que usted describe. De ello se desprende que el $\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2k}$ forma una base para $W$, y la dimensión de resultados de la siguiente manera. La dimensión de $W$ $1+n/2$ si $n$ es aún, y $(n+1)/2$ si $n$ es impar.