Método de iteración de Newton

Question

necesito un poco de ayuda aquí. Mi función es $f(x) =x^{3}$ . Se me pidió para encontrar el número de iteraciones necesarias para alcanzar la precisión $10^{-5}$ si $x_{0} = 0.9$

Me preguntaba si hay una fórmula general para encontrar el número de iteración, por lo tanto, la fórmula sé que es

$$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.$$

Sé que es fácil encontrar el número de iteración por esta fórmula, pero ¿y si el número de iteración para alcanzar mis precisión es del 40 ? necesito calcular todo esto iteraciones ? o hay una fórmula general ?

Así que por favor si alguien sabe por favor ayuda.

Por CIERTO, esto es para Newton

Gracias

Answer 1

Cuando se utiliza $f(x)=x^3$ la repetición se convierte en $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3}{3 x_n^2}=\frac{2}{3}x_n$ y por lo tanto, puede ser resuelto explícitamente como

$$x_n = \left(\frac{2}{3}\right)^n x_0.$$

Ahora sólo tienes que este enchufe en la desigualdad $x_n\leq 10^{-5}$, tomar el logaritmo y resolver $n$, que da

$$n\ln\frac{2}{3}\leq\ln\frac{10^{-5}}{0.9}\quad\Rightarrow\quad n\geq\frac{\ln (10^{-5}/0.9)}{\ln(2/3)}\approx 28.2 Tenga en cuenta que $\leq$ convierte a $\geq$ se divide a través de un logaritmo negativo.

Esto significa, la iteración 29 es el primero que dentro del $10^{-5}$-barrio.

Answer 2

Ingeneral el error en el método de Newton satisface:

$$e_{n+1}=-\frac{f''(\theta_n)}{2f'(x_n)}e_n^2$$

donde $\theta_n$ es determinado número entre el $x_n$ y la raíz.

Poner $e_0$ igual a la longitud del intervalo donde su raíz. Asuma que usted puede enlazado $$|-\frac{f''(\theta_n)}{2f'(x_n)}|<M.$$

A continuación, $$|e_n|\le M|e_{n-1}|^2\le M^{1+2}|e_{n-2}|^4\le ...\le M^{1+2+4+...+2^n}|e_0|^{2^n}=|e_0M|^{2^{n}}M^2$$ .

Si queremos $d$ dígitos podemos poner $|e_0M|^{2^{n}}M^2<10^{-d}$ y resolver para $n$.

Llegamos ${2^{n}}>\frac{\ln(\frac{10^{-d}}{M^2})}{\ln|e_0M|}$. Así

$$n>\log_2\left(\frac{\ln(\frac{10^{-d}}{M^2})}{\ln|e_0M|}\right).$$