Cuál es el dominio y el rango de $f(x,y)=3x^2+2y^2-5$

Question

¿Cuál es el dominio y rango de$f(x,y)=3x^2+2y^2-5$

Estoy empezando a aprender multivariable y necesito ayuda con esta pregunta.

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Dejar $z=3x^2+2y^2-5$

El dominio es$S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x,y\in(-\infty,\infty)\}$

No hay restricción en el dominio.

¿Qué hay del rango?

Realmente no puedo imaginar esta curva, así que no sé para qué valores de$z$ puede cubrir. ¿Como puedo resolver esto?

Answer 1

"No puedo imaginarme esta curva ..."

Estoy seguro de que está familiarizado con la apariencia de$f(x) = 3x^2$ en el plano$(x,f(x))$. Ahora imagine que con dos dedos agarra cualquier punto$(x'f(x'))$ en la curva, y que lo estira alrededor del eje$f(x)$, es decir, girando la función alrededor del eje hasta que termina en el punto en el que empezado. Ahora ha creado la función$g(x,y) = 3x^2 + 3y^2$ y, a partir de esto, podrá imaginar cómo se ve el$f(x,y) = 3x^2 + 2y^2$. El$-5$ solo mueve la función un poco.

Answer 2

Como$x^2$ y$y^2 \geq 0$, rango$\geq -5$