Del grupo de simetría a las ecuaciones físicas

Question

Hasta donde yo sé:

Existen grupos de simetría como los grupos de rotación SO(3), los grupos de transformaciones de Poincare,... Si la física de un sistema tiene un grupo de simetría G, entonces se puede describir mediante una representación de G y el espacio vectorial actuado.

Corríjanme si me equivoco.

Si no estoy tan equivocado, quiero saber un ejemplo más sencillo de cómo podemos interpretar la física de este sistema estudiando las propiedades de la representación de G. (porque he estado aprendiendo a la inversa: primero es el espacio de Hilbert de estados, luego el grupo de operadores de simetría)

EDITAR: Creo que el proceso de hacer una teoría física sería el siguiente:

Correspondiendo a una "física" específica, existe particularmente un grupo de Lie (llamado G) de simetría. Entonces podemos construir un marco representando este grupo de Lie como un grupo de transformaciones lineales que actúan sobre un espacio vectorial V.

• Cada elemento de V sería un estado de la física.
• Cada elemento del álgebra de Lie (correspondiente a G) sería un observable (esto es lo que quiero saber si es verdadero o falso con seguridad)

Entonces podemos aplicar conceptos cuánticos como estado propio, valor propio, distribución,...

¿Estoy equivocado? Si estoy equivocado, ¿cómo puedo arreglarlo?

(Acabo de leer accidentalmente sobre la teoría de la representación la semana pasada y estoy un poco entusiasmado con la idea de promover una teoría de un objeto algo simple (fundamental) como un grupo de simetría)

He encontrado un artículo que describe la forma de construir la física cuántica a partir del grupo de simetría y la teoría de la representación:

http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf

Answer 1

No te equivocas, las simetrías de una teoría son esenciales para encontrar el espacio de estados adecuado. El espacio de estados debe llevan una representación de todas las simetrías de la teoría (aunque puede ser la trivial). Por ejemplo, para un sistema cuántico que es invariante bajo rotación (pensemos en el átomo de hidrógeno), el hecho de que debamos representar el grupo de rotación $\mathrm{SO}(3)$ en el espacio de soluciones de la ecuación de Schrödinger, ya que son, como funciones de onda, los estados, se refleja naturalmente en el hecho de que las soluciones son (combinaciones lineales de) las armónicos esféricos $Y^l_m$ que son los vectores base de todas las representaciones irreducibles de $\mathrm{SO}(3)$ etiquetado por $l\in\mathbb{N}$ . Si $H_l$ denota la representación de un determinado $l$ el espacio completo de estados es $\bigoplus_{l\in\mathbb{N}}H_l$ . Por lo tanto, ¡podrías haber adivinado el espacio de estados sólo mirando la simetría en lugar de resolver la ecuación de Schödinger! (He omitido la parte radial y de espín en lo anterior, pero creo que da la idea general)

Pero una teoría es (casi) siempre más que sus simetrías. Muchas teorías de campo tienen una acción que determina las ecuaciones de movimiento clásicas y la integral de trayectoria cuántica, aunque no todos . La mecánica cuántica (casi) siempre tiene el hamiltoniano que determina la evolución del tiempo, y el Simetría del cuantomorfismo (ese post no está directamente relacionado, pero Urs Schreiber cuenta una gran historia sobre cómo el paso de la mecánica clásica a la cuántica está intrínsecamente motivado por la teoría de Lie, creo que te puede interesar) no es suficiente para arreglarlo, hay que darlo.

Lo más cercano a determinar toda la teoría sólo por su simetría son las teorías cuánticas gauge puras en dimensiones bajas, donde, en 2D, la estructura topológica del espaciotiempo junto con el grupo gauge fijan completamente la QFT y todos los observables (que no son tantos).

No estoy seguro de haber respondido a su pregunta concreta, así que no dude en señalarlo si no he acertado.