ZF demostrando la existencia de un singleton?

Question

Tengo que mostrar que si $A$ es un conjunto, entonces $\{A\}$ es un conjunto. Tengo que $\{A, A\}$ es un conjunto de emparejamiento, pero el único argumento que he visto que $\{A\}$ es un conjunto es debido a que $\{A, A\} = \{A\}$ por extensión. Sin embargo, extensionality dice que \begin{equation*} \forall x \forall y (\forall z (z \in x \leftrightarrow z \in y) \leftrightarrow x = y) \end{ecuación*} pero $x$, $y$ y $z$$sets$. Es decir, si $x$ $y$ ya son conjuntos, entonces a $x = y$ fib $x$ $y$ tienen los mismos miembros. De modo que parece como decir que $\{A, A\}$ es un conjunto, y $\{A\} = \{A, A\}$, por extensión, supone ya que el $\{A\}$ es un conjunto con el fin de aplicar el axioma. Sin embargo, esto es lo que quiero demostrar. Yo entiendo que podría salirse con la clase $\{A\} = \{x : x = A\}$ es un conjunto mediante la aplicación de extensionality a y el conjunto $\{A, A\}$, pero el libro que estoy utilizando no ha dado un tratamiento de las clases en este punto.

Answer 1

$\{A, A\}$ $\{A\}$ son el mismo conjunto, por definición.

Vinculación aplicadas a $A$ dice que existe un conjunto $S$ tal que $x \in S \iff x = A \vee x = A$, lo que equivale a $x \in S \iff x = A$.