Supongamos que tenemos A≤B. Entonces es cierto que ||Ax||≤||Bx|| (donde x,A,B todos pertenecen a la misma finito-dimensional espacio de Hilbert H)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Contraejemplo: A=\left(\matriz{1&1\\1&1}\right)\qquad B=\left(\matriz{2&1\\1&1}\right)
Detalles: Su pregunta tiene un poco de contexto. El operador de la teoría, de este se lee: es la función de f(t)=t2 operador monotonía en [0,+∞), yo.e A≤B implican f(A)≤f(B) por cada auto-adjunto matrices con no negativo del espectro? Por ejemplo, g(t)=√t es el operador de la monotonía en [0,+∞). Pero f(t)=t2 no es, como muestra el ejemplo anterior.
Positivo operadores: Un operador A B(H) se llama positiva si y sólo si uno de los siguientes equivalente afirmaciones que contiene. En este caso, uno escribe A≥0.
1) A es auto-adjunto y (Ax,x)≥0 todos los x∈H (tenga en cuenta que el segundo implica la ex en el caso complejo, por la polarización, pero no en el caso real).
2) A es auto-adjunto con no negativo del espectro.
3) No existe B auto-adjoint tal que A=B2.
Orden parcial: Por cada auto-adjunto operadores de A,B, uno escribe A≤B si B−A≥0. Esto define un orden parcial. Usted pregunta puede ser reformulada de la siguiente manera: 0≤≤B⇒?A2≤B2. De hecho, ‖
Contraejemplo de verificación: es fácil ver que A B son positivas, ya que son auto-adjunto con espectros \{0,2\}\{\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\}. Ahora B-A\geq 0 como es auto-adjunto con el espectro es \{0,1\}. Pero B^2-A^2 ha determinante -1, por lo que no es positivo.
Los desplazamientos caso: Si asumimos que el A B viaje, el resultado se mantiene. Con las matrices, se puede demostrar fácilmente por diagonalización simultánea en una base ortonormales. Ahora voy a dar una prueba de que funciona en cualquier dimensión.
Escribir B^2-A^2=(B-A)(A+B). Luego de observar que los B-A A+B son dos desplazamientos positivos de los operadores. Escribir B-A=C^2 A+B=D^2 C=\sqrt{B-A} D=\sqrt{A+B} el único positivo de las raíces cuadradas mediante la funcional de cálculo para el normal de los operadores. Desde B-A A+B viaje, C D conmutan por funcional de cálculo. Por lo tanto,B^2-A^2=C^2D^2=(CD)^2\geq 0.