Normas que implican positiva de los operadores

Question

Supongamos que tenemos $A \leq B$. Entonces es cierto que $||Ax|| \leq ||Bx||$ (donde $x, A, B$ todos pertenecen a la misma finito-dimensional espacio de Hilbert $H$)?

Answer 1

Contraejemplo: $$A=\left(\matriz{1&1\\1&1}\right)\qquad B=\left(\matriz{2&1\\1&1}\right)$$

Detalles: Su pregunta tiene un poco de contexto. El operador de la teoría, de este se lee: es la función de $f(t)=t^2$ operador monotonía en $[0,+\infty)$, yo.e $A\leq B$ implican $f(A)\leq f(B)$ por cada auto-adjunto matrices con no negativo del espectro? Por ejemplo, $g(t)=\sqrt{t}$ es el operador de la monotonía en $[0,+\infty)$. Pero $f(t)=t^2$ no es, como muestra el ejemplo anterior.

Positivo operadores: Un operador $A$ $B(H)$ se llama positiva si y sólo si uno de los siguientes equivalente afirmaciones que contiene. En este caso, uno escribe $A\geq 0$.

1) $A$ es auto-adjunto y $(Ax,x)\geq 0$ todos los $x\in H$ (tenga en cuenta que el segundo implica la ex en el caso complejo, por la polarización, pero no en el caso real).

2) $A$ es auto-adjunto con no negativo del espectro.

3) No existe $B$ auto-adjoint tal que $A=B^2$.

Orden parcial: Por cada auto-adjunto operadores de $A,B$, uno escribe $A\leq B$ si $B-A\geq 0$. Esto define un orden parcial. Usted pregunta puede ser reformulada de la siguiente manera: $$0\leq\leq B\quad\Rightarrow?\quad A^2\leq B^2.$$ De hecho, $$\|Bx\|^2-\|Ax\|^2=(Bx,Bx)-(Ax,Ax)=(B^2x,x)-(A^2x,x)=((B^2-A^2)x,x).$$

Contraejemplo de verificación: es fácil ver que $A$ $B$ son positivas, ya que son auto-adjunto con espectros $\{0,2\}$$\{\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\}$. Ahora $B-A\geq 0$ como es auto-adjunto con el espectro es $\{0,1\}$. Pero $B^2-A^2$ ha determinante $-1$, por lo que no es positivo.

Los desplazamientos caso: Si asumimos que el $A$ $B$ viaje, el resultado se mantiene. Con las matrices, se puede demostrar fácilmente por diagonalización simultánea en una base ortonormales. Ahora voy a dar una prueba de que funciona en cualquier dimensión.

Escribir $B^2-A^2=(B-A)(A+B)$. Luego de observar que los $B-A$ $A+B$ son dos desplazamientos positivos de los operadores. Escribir $B-A=C^2$ $A+B=D^2$ $C=\sqrt{B-A}$ $D=\sqrt{A+B}$ el único positivo de las raíces cuadradas mediante la funcional de cálculo para el normal de los operadores. Desde $B-A$ $A+B$ viaje, $C$ $D$ conmutan por funcional de cálculo. Por lo tanto,$B^2-A^2=C^2D^2=(CD)^2\geq 0$.