¿Cuál es la diferencia entre estas leyes? ¿Qué ley es más útil? ¿Cuándo utilizar la ley de Ampère y cuándo usar la ley de Biot-Savart?
En el contexto de la teoría electromagnética introductoria, se puede usar la ley de Ampère cuando la simetría del problema lo permite, es decir, cuando el campo magnético alrededor de una 'lazo amperiano' es constante. por ejemplo: para encontrar el campo magnético de un cable de corriente recto infinito a alguna distancia radial.
La ley de Biot-Savart es un enfoque más directo, se evalúa esta integral cuando no hay suficiente simetría para usar la ley de Ampère. por ejemplo: para evaluar el campo magnético en algún punto a lo largo del eje de un lazo de corriente.
HyperPhysics tiene algunos ejemplos geniales: Ley de Ampère, Ley de Biot-Savart.
"para evaluar el campo magnético en algún punto a lo largo del eje" o incluso - fuera del eje ... Biot-Savart, al ser una integral sobre la corriente, funciona para cualquier distribución de corriente.
¿Cuál es la diferencia entre estas leyes?
Una diferencia interesante es que la ley de Biot-Savart es más general que la ley de Ampère.
La ley de Ampère $$ \oint_\gamma \mathbf B\cdot d\mathbf s = \mu_0 I $$ es válida solo cuando el flujo de campo eléctrico a través del bucle $\gamma$ es constante en el tiempo; de lo contrario, su tasa de cambio (la corriente de desplazamiento) debe agregarse a la corriente normal en el lado derecho. (Maxwell se dio cuenta de esto).
Sin embargo, la ley de Biot-Savart $$ \mathbf B (\mathbf x)= \int \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\mathbf j \times (\mathbf x - \mathbf r)}{|\mathbf x - \mathbf r|^3}\,d^3\mathbf r $$ aunque originalmente formulada también para situaciones estáticas, es más general, ya que es válida incluso si el flujo eléctrico cambia en el tiempo, siempre que el campo eléctrico esté dado por el gradiente del potencial. Esto sucede, por ejemplo, cuando un capacitor conectado a una batería con una autoinductancia despreciable se carga. Un campo magnético alrededor del capacitor no sigue la ley de Ampère, sino que se rige por la fórmula de Biot-Savart anterior.
Esto realmente solo cambia la pregunta a "¿cuál es la diferencia entre las leyes de Coulomb y Gauss?"
La ley de Coulomb describe el campo eléctrico de cargas discretas mientras que la ley de Gauss describe el campo de distribución de carga continua. En otras palabras, la ley de Gauss es la forma general y más práctica de la ley de Coulomb. La ley de Coulomb describe un hecho de la naturaleza mientras que la ley de Gauss dice cómo aplicarlo. La ley de Coulomb es una ley fundamental mientras que la ley de Gauss es una manipulación matemática del hecho que describe la ley de Coulomb.
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