autovalores menor que $1$ implica que la contractura mapa

Question

Considere la posibilidad de $(\mathbb R^n,d)$ donde $d$ es la métrica Euclidiana. Un mapa de $w:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$ se dice contractiva si existe $0<s<1$ tal que para cada a $x,y\in \mathbb R^n$ tenemos $d(w(x),w(y))\le sd(x,y)$.

Dado lineal mapa de $F:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$ con autovalores menor que $1$, quiero demostrar que la $F$ es contractiva.

Tenga en cuenta que si tenemos una base de vectores propios de a $\mathbb R^n$ $F$ es contractiva. Por lo tanto me gustaría tener una generalización de la misma.

Answer 1

Esto no es cierto en general, no se incluso si usted tiene una base de vectores propios. E. g. $A = \begin{bmatrix} 1/2 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ tiene los autovalores $0$$1/2$, pero $A$ no es contractiva, ya $A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}$.