Raíz enésima del Producto de Fracciones

Question

Deje $$f_n(x) = \left| \prod_{k=0}^n \left( x - \frac{k}{n} \right) \right|^{\frac{1}{n}}$$ Basado puramente en el examen de la siguiente gráfica, la cual ha $n=100$, parece que por $x \not \in \mathbb{Q} \cap [0, 1], \; \, f_n(x) \to f(x)$ $n \to \infty$ donde $f$ es alguna función continua.

He estado tratando de trabajar hacia la identificación de $f$, aunque por desgracia no he llegado a ninguna parte. De lo contrario, la penetración en demostrar (o refutar) cualquiera de las siguientes observaciones también podría ser útil:

$f(0) = f(1) = e^{-1}$ $f(\frac{1}{2}-x) = f(\frac{1}{2}+x)$ $f$ tiene un mínimo en $x = \frac{1}{2}$ Comportamiento asintótico de $f$ $|x| \to \infty$

También he intentado considerar $\log f_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^n \log |x-\frac{k}{n}|$, pero fue en vano.

Answer 1

Deje $f$ ser la función representada por

$$f(x)=\lim_{n\to \infty}\left|\prod_{k=0}^n\left(x-\frac kn\right)\right|^{1/n}$$

Siguiente, tenga en cuenta que

$$\left|\prod_{k=0}^n\left(x-\frac kn\right)\right|^{1/n}=e^{\frac1n \sum_{k=0}^n \log\left|\left(x-\frac kn\right)\right|}$$

El límite de la exponente es la suma de Riemann para $\int_0^1 \log|x-t|\,dt$, cuando se $x\in [0,1]$ e es irracional. Para $x\in [0,1]$ e irracional, tenemos

$$\begin{align} \int_0^1 \log|x-t|\,dt&=\lim_{\epsilon\to 0^+}\left(\int_0^{x-\epsilon} \log(x-t)\,dt+\int_{x+\epsilon}^1 \log(t-x)\,dt\right)\\\\ &=x\log(x)-x+(1-x)\log(1-x)-(1-x)\\\\ &=x\log(x)+(1-x)\log(1-x)-1 \end{align}$$

y $f(x)=e^{-1}x^x\,(1-x)^{1-x}$.

---

Si $x>1$,$f(x)=e^{\int_0^1 \log(x-t)\,dt}=e^{-1}\frac{x^x}{(x-1)^{x-1}}$.

Si $x<0$,$f(x)=e^{\int_0^1 \log(t-x)\,dt}=e^{-1}\frac{(1-x)^{1-x}}{(-x)^{-x}}$.