Mostrar $\frac{1}{n} \sum_{p \in \mathbb P} \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor \log p = \log n + O(1)$

Question

Cualquier sugerencias de cómo probar para $n \in \mathbb N$ $$\frac{1}{n} \sum_{p \in \mathbb P} \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor \log p = \log n + O(1)$$ donde $\mathbb P$ denota el conjunto de todos los números primos? Como para todos los números primos $p > n$ tenemos $\lfloor n/p \rfloor = 0$, la suma es finita, es decir, si $p_1, \ldots, p_k$ son todos los números primos $\le n$ hemos $$\frac{1}{n} \sum_{p \in \mathbb P} \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor \log p = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k \left\lfloor \frac{n}{p_i} \right\rfloor \log p_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k \log\left( p_i^{\lfloor n/p_i \rfloor}\right) = \frac{1}{n} \log\left( \prod_{i=1}^k p_i^{\lfloor n/p_i\rfloor} \right)$$ así que supongo que de alguna manera debe mostrar que $\log n^n \approx \log\left( \prod_{i=1}^k p_i^{\lfloor n/p_i\rfloor} \right)$, pero no tengo idea de cómo proceder, por lo que cualquier sugerencias?

Answer 1

Tener en cuenta que:

$$n! = \prod_{p\leq n} p^{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{p^2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{p^3}\right\rfloor+\ldots}$$ por lo tanto: $$\log(n!) = \sum_{p\leq n}\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor \log p + \sum_{k\geq 2}\sum_{p\leq n}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor \log p = \sum_{p\leq n}\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor \log p + O(n)$$ y el LHS puede estimarse a través de la aproximación de Stirling.

Answer 2

Tenemos $$\frac{1}{n}\sum_{p\leq n}\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor \log\left(p\right)=\sum_{p\leq n}\frac{\log\left(p\right)}{p}+O\left(\frac{1}{n}\sum_{p\leq n}\log\left(p\right)\right)$$ because $\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor =\frac{n}{p}+O\left(1\right)$ and by Mertens first theorem we have that $$\sum_{p\leq n}\frac{\log\left(p\right)}{p}=\log\left(n\right)+O\left(1\right)$$ and by PNT $$\sum_{p\leq n}\log\left(p\right)=O\a la izquierda(n\right)$$ hence $$\frac{1}{n}\sum_{p\leq n}\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor \log\left(p\right)=\log\left(n\right)+O\left(1\right).$$