la solución de la ecuación diferencial?

Question

Me he encontrado con este conjunto de ecuaciones en un libro explicando el cicloides movimiento de la partícula en el ortogonal magnético y el campo eléctrico. En el habitual sistema de coordenadas.

$y''(t)=pz'(t)$

$z''(t)=p(q-y'(t))$

donde p y q son constantes y $y(t)$, $z(t)$ son la posición de la partícula en el espacio en el tiempo t.Su solución general que está escrito

$y(t)=C_1\cos(pt)+C_2\sin(pt)+qt+C_3$

$z(t)=C_2\cos(pt)-C_1\sin(pt)+C_4$

que soy incapaz de resolver. Por favor, ayudar.

Answer 1

La solución de sistemas lineales es similar a la de una sola de las ecuaciones.

En primer lugar vamos a bajar el grado de las ecuaciones mediante el establecimiento $u:=y',v:=z'$ y volver a escribir el sistema en la forma canónica:

$$u'(t)-pv(t)=0\\v'(t)+pu(t)=pq.$$

Encontrar la solución general del sistema homogéneo

$$u'(t)-pv(t)=0\\v'(t)+pu(t)=0.$$

Usted puede hacer que al intentar una solución exponencial como $u=u_0e^{\lambda t},v=v_0e^{\lambda t}$. Usted obtener:

$$\lambda u_0e^{\lambda t}-pv_0e^{\lambda t}=0\\\lambda v_0e^{\lambda t}+pu_0e^{\lambda t}=0,$$ es decir, después de la simplificación $$\lambda u_0-pv_0=0\\\lambda v_0+pu_0=0.$$ Usted debe reconocer un Eigenproblem para un $2\times2$ matriz (dos elementos que faltan). Los Valores propios son $\pm ip$, y los correspondientes vectores propios se $(1,i), (1,-i)$.

La combinación, la solución general puede escribirse $$u(t)=C_0\cos(pt)+C_1\sin(pt)\\v(t)=C_1\cos(pt)-C_0\sin(pt).$$

Ahora mirando el no-sistema homogéneo, debemos encontrar una constante de la solución particular:

$$u(t)=u_0\\v(t)=v_0.$$ Conectar el sistema obtenemos

$$-pv_0=0\\pu_0=pq,$$ y por la identificación, $$u_0=q,v_0=0.$$ Ahora, para obtener el $y$$z$, combinar e integrar una vez en $t$.

Este es un resumen rápido de un enfoque general para resolver este tipo de sistemas, que pueden estar basados en el álgebra matricial técnicas.

Answer 2

a partir de la ecuación 1 $$z'=\frac{y''}{p}$$ $$z''=\frac{y'''}{p}$$ sustituyendo en la segunda ecuación $$\frac{y'''}{p}=pq-py'$$ $$y'''+p^2y'=p^2q$$ integrar ambos lados $$y''+p^2y=p^2qt+K_3$$ la solución particular es $$y_p=C_1\cos pt+C_2\sin pt$$ para encontrar la solución complementaria, vamos a suponer $$y_c=At+B$$ sustituto para obtener $$A=q$$ $$B=\frac{K_3}{p^2}=C_3$$ Así $$y=y_p+y_c$$ $$y=C_1\cos pt+C_2\sin pt+C_3+q*t$$ a continuación, puede utilizar esta solución para encontrar el $z$

Answer 3

Desde el primer equasion ha $y'(t) = pz(t)+D_1. (D_1$ es constante). Sustituir a la segunda y ha $z''(t)+p^2(z(t)+\frac{D_1-q}{p})=0$. Esto es de segundo orden lineal de la ecuación diferencial ordinaria con la solución general por escrito. A continuación, resuelva para y(t). Cuidado de la toma de constantes, para llegar q ser el coeficiente de t y(t).