Necesito ayuda con este problema, y estaba pensando de esta manera: $$ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7} = 332 $$ y necesito encontrar tres de ellas cuya suma sea al menos 142.
Pero no sé qué sigue. Agradecería cualquier ayuda
Supongamos que $3$ personas elegidas tienen como máximo una edad total de $141$ . Entonces, $x_1 + x_2 + x_3 \le 141$ y también $x_4 + x_5 + x_6$ . Esto indica que $x_7 \ge 50$ .
Repetir el mismo proceso intercambiando los papeles de $x_i$ Rendimientos $x_i \ge 50$ para cualquier $i$ . Lo que lleva a una contradicción.
Puede formar $\binom{7}{3}$ trillizos, es decir, 35 trillizos. Cada hombre participa en $\binom{6}{2}$ trillizos, es decir, 15. Por tanto, la suma de los 35 tripletes es $15 \times 332 = 4980$ lo que significa que la media es $\frac{4980}{35} = 142.427...$ por lo que tiene que haber al menos un trillizo con una edad total de al menos 142 años. En realidad, como todos los años son enteros, esto demuestra que tiene que haber una tripleta con una suma total de al menos 143.
Última frase - a menos que me haya perdido el punto, ¿no demuestra que tiene que haber un triplete con una suma total de como mínimo ¿143 (en lugar de 143 exactamente)? Por ejemplo, todas las edades podrían ser iguales.
Supongamos que $x_1\le x_2\le\ldots\le x_7$ . He aquí una prueba de que $x_5+x_6+x_7\ge144$ (que responde a una observación hecha por TonyK en los comentarios).
Supongamos que $x_5+x_6+x_7\le143$ . Entonces $x_1+x_2+x_3+x_4\ge332-143=189$ lo que implica $x_4\ge189/4=47.25$ . Como se supone que las edades son números enteros, tenemos $48\le x_4\le x_5\le x_6\le x_7$ lo que contradice la suposición.
Me resulta extraña la complejidad de los métodos aquí expuestos. Existe una solución mucho más sencilla. $332$ años repartidos entre $7$ personas resulta ser un poco más de $47$ años por persona. En concreto, porque $7 \cdot 47 = 329$ hay tres años más. Así que la distribución más uniforme de las edades es:
$$47,47,47,47,48,48,48.$$
Obviamente, hay un grupo de tres cuyas edades suman al menos $142$ (de hecho, es $144$ ). Ten en cuenta, además, que cada vez que le quitas un año a alguien, debes dárselo a otra persona para que la suma se mantenga constante. Quitarle un año a una persona mayor sólo redistribuye los años y quitarle un año a una persona más joven no ayuda a intentar conseguir una suma menor.
Para profundizar en esto, puede hacer una de las cuatro redistribuciones al principio: desde un $47$ a un $47$ de un $47$ a un $48$ de un $48$ a un $47$ y de un $48$ a un $48$ . Después de esto, los resultados (ordenados de nuevo) serán:
$$46,47,47,48,48,48,48$$ $$46,47,47,47,48,48,49$$ $$47,47,47,47,48,48,48$$ $$47,47,47,47,47,48,49$$
Como se puede ver, en todos los casos, las tres mayores edades tienen una suma que es al menos $3 \cdot 48 = 144$ . Ahora ten en cuenta que la próxima vez que le quites un año a alguien y se lo des a otra persona, si la primera persona es mayor, entonces obtendrás una de las cinco configuraciones ya vistas. La única forma de obtener una configuración que no se haya visto antes es tomar un año de una persona más joven, y esto hará que nunca inferior la suma de las edades de las tres personas más mayores.
Para verlo de otra manera, si cada persona fue $47$ años, entonces cada triple de personas tiene una suma de edad de $141$ . En instantánea das cualquiera un año más, hay un triple con una suma de edad de $142$ . Añadir dos años más no ayuda.
De hecho, es una buena idea, pero creo que se necesita un poco más de cuidado para elaborar tal argumento "equilibrum" para trabajar con varios pasos de redistribución. En ese momento, sin duda se supera la complejidad de Barry Cipra de la Comisión.
La media de la suma de edades de todos los triples posibles es el triple de la edad media por persona (ya que cada persona aparece el mismo número de veces). Dado que la edad media por persona es superior a $142\,/\,3$ la suma media de edad por triple es superior a $142$ por lo que al menos un triple debe tener una edad de al menos $142$ .
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Como muestra Stefan4024, debe haber tres personas cuyas edades sumen al menos $143$ . James afirma que debe haber tres personas cuyas edades sumen al menos $144$ pero su argumento es erróneo (véase mi comentario). Sin embargo, no puedo encontrar un ejemplo en el que $143$ es el máximo, por lo que quizás $144$ es demostrable. ¿Alguien?
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@TonyK: Si la edad máxima es $48$ debe haber tres, y suman $144$ . Si no, el máximo es $m\ge49$ y el resto $6$ suman $332-m$ por lo que el par medio de ellos tiene edad suma $(332-m)/3$ por lo que debe haber al menos un par con suma de edad $\lceil(332-m)/3\rceil$ y junto con la persona de máxima edad forman un triplete con suma de edad $m+\lceil(332-m)/3\rceil$ . Esto es mínimo para $m$ y para $m=49$ es $144$ .
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"Necesito encontrar tres de estos cuya suma sea 142" simplemente malinterpretaste el problema. Por lo menos 142, no exactamente 142.
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@TonyK, mira mi respuesta para otra prueba con 144 como límite.
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@TonyK Mi respuesta muestra que el mínimo es $143$ (si se completa el último paso, que "dejé como ejercicio para el lector"). Pero me gusta mucho más la respuesta de Barry Cipra. Aunque Stefan4024 también consiguió justo $143$ A mí también me gusta más su método que el mío.
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@joriki Tal vez deberías hacer un apéndice a tu respuesta mostrando el $144$ resultado. Veo que has utilizado mejor que yo el principio del encasillamiento. Al considerar pares de edades después de la más antigua, en lugar de sólo la edad de un más persona, podría demostrar que el mínimo es $143$ mucho más rápido que mi enfoque; y tratando $m=48$ como caso aparte se eleva el mínimo a $144$ .
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@DavidK: El mínimo de $143$ no requiere el argumento del par; ya el argumento simple del triple en mi respuesta da como resultado $143$ -- Simplemente no lo escribí así porque en ese momento sólo estaba respondiendo a la pregunta tal y como se había planteado y aún no se había planteado la idea de optimizar el límite :-)
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@joriki Eso demuestra que no leí tu respuesta con suficiente atención. Al parecer leí "por encima de" como "mayor o igual que" en lugar de simplemente "mayor que". Parece que tu respuesta y la de Stefan4024 son esencialmente la misma, pero redactadas de forma un poco diferente (y publicadas con menos de 2 minutos de diferencia, prácticamente al mismo tiempo).
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Solicitud de aclaración: ¿se buscan tres edades para sumar a exactamente 142? La mayoría de las respuestas se centran en hacer de 142 un límite inferior, pero no necesariamente uno que se alcance siempre.
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Gracias a todos por resolver este problema. La prueba por contradicción parece ser la forma más sencilla de resolverlo. @SteveJessop: sí, lo leí mal, lo entendí después cuando estaba sentado pensando en soluciones :) zibadawatimmy: la suma debe ser al menos 142 :)