Tengo una tarea, problema que dice
Si $f(x) = \dfrac{x^2 - x}{x - 1}$$g(x) = x$. Es cierto que $f = g$?
¿Qué significan diciendo que es cierto que $f = g$? No son estas dos funciones completamente diferentes unos de otros? Digamos que es cierto,entonces, ¿qué razonamiento debo dar? No estoy seguro de cómo empezar. Por favor, ayudar.
La respuesta depende de manera crucial de la denotación de los términos elementales de la función y función.
Otras respuestas ya hemos explicado lo que sucede cuando dijo funciones racionales son vistos como (conjunto teórico) funciones. Aquí expongo una más formal algebraica punto de vista, lo cual es útil tener en mente que incluso cuando se aproxima la analítica de problemas (por ejemplo, debajo).
En álgebra (diferencial y álgebra), para obtener la máxima generalidad (universalidad) polinómicas y racionales "funciones" se interpretan formalmente. En este caso polinomios no son funciones sino que son expresiones formales (elementos de ciertos álgebras). A su vez, racional "funciones" son también formal (no funcional) de los objetos, es decir, los elementos de la fracción de campo de formal polinomios. Por lo tanto, en $\rm\:\mathbb Q(x)\:,\:$ la fracción de campo del polinomio anillo de $\rm\:\mathbb Q[x]\:,\:$ que es cierto que $\rm\ x\ =\ (x^2-x)/(x-1)\ $ ya que uno siempre puede cancelar un valor distinto de cero elementos de las fracciones. Más explícitamente, si $\rm\ x,\:f\in F\: $ un campo (o dominio), a continuación, $\rm\: x\ne 1\ $ $\rm\ (x-1)\ f\ =\ x^2-x\ \ \Rightarrow\ \ f\: =\: x\ $ por la cancelación de $\rm\ x-1\ne 0\:.\:$
Es notable que formal del álgebra con frecuencia permite la mancha pruebas de los resultados que podría ser engorroso analíticamente. En particular, "genérico" o "universal" pruebas pueden dar resultados no triviales, por ejemplo, uno puede "genéricamente" algebraicamente cancelar "aparente singularidades" de un solo golpe, antes de la evaluación para así evitar alternativa topológico argumentos (por ejemplo, por la densidad). Por ejemplo, ver esta mancha de la prueba de Sylvester determinante de la identidad $\rm\ det\ (I+AB)=det\ (I+BA)\ $ que procede universalmente a la cancelación de $\rm\ det\ A\ $ de la $\rm\ det\ $$\rm\ \ (1+A\ B)\ A\ =\ A\ (1+B\ A)\:,\:$, con lo que trivialmente la eliminación de la "aparente singularidad" a $\rm\ det\ A\: =\: 0\:.\:$ Para una mayor discusión, ver aquí.
NOTA $\ $ vale la pena subrayar que esta igualdad, como muchas de las igualdades, es una simple consecuencia de un teorema de unicidad, lo que se obtiene otro ejemplo de que el poder de los teoremas de singularidad para probar las igualdades. Para el anillo de la teoría de la propiedad de un dominio es equivalente a la unicidad de soluciones de ecuaciones lineales $\rm\ a\ x = b,\ a\ne 0\:.\: $ Su igualdad es una consecuencia de este sencillo teorema de unicidad, es decir. tanto en $\rm\:x\:$ $\rm\:(x^2-1)/(x-1)\:$ son soluciones de $\rm\:f\:$ $\rm\ (x-1)\ f\ =\ x^2-x\:,\:$ $\rm\: x\ne 1\:,\:$ por lo tanto son iguales por la singularidad. Normalmente se deduce de este uso de una propiedad equivalente, es decir, que un anillo es un dominio iff todo distinto de cero elementos son cancelables. Así, en un dominio de uno puede deducir esas igualdades por la cancelación distinto de cero los factores de ambos lados de una ecuación. Pero es fundamental insistir en la singularidad desde el punto de vista esto se aplica en mucho contextos más generales que no pueden disfrutar de un equivalente de la reformulación a través de la cancelación, por ejemplo, ver anterior relacionado puestos.
Mientras que tales comentarios pueden parecer triviales si se interpreta sólo en un específico anillo, por ejemplo, el anillo de real de funciones racionales (formal o funcional), son bastante triviales cuando en un sentido más general, como se ilustra muy claramente en el ejemplo anterior el empleo de formal vs funcional matrices y determinantes - por el trabajo de más de un anillo donde la matriz entradas son indeterminates. La abstracción de polinómicas funciones a formal polinomios, si bien puede parecer más bien impotente a primera vista, los rendimientos de gran poder cuando explotado hasta la empuñadura por universal razonamiento. Por desgracia, universal puntos de vista no siempre reciben el énfasis que legítimamente merecen en los primeros cursos de álgebra (si lo hicieron, mi trivial comentario aquí no sería uno de mi más alta votación de los posts!)
Sugerencia: puede $f$ ser simplificado? (sí)
Usted puede comparar la versión simplificada de $f(x)$$g(x)$, y vas a ver que son ellos mismos; $f$ $g$ tienen valores iguales en cualquier punto de $x$ donde están definidos.
¿Significa esto $f$ $g$ son iguales como funciones? Mira la definición original de $f$ y pregúntate a ti mismo: "do $f$ $g$ tienen los mismos dominios"?
En realidad, todo lo que tienes que hacer es hacerte esa última pregunta.
Si no, usted podría decir: "$f(x)=x$" y, a continuación, a la conclusión de que $f$ $g$ son iguales funciones.
Esta conclusión sería incorrecto, porque sólo puede hacer que la cancelación de arriba si $x-1$ es distinto de cero; es decir, si $x\ne1$.
De hecho, $x=1$ no está en el dominio de $f$. (Es cierto que el $f(x)=x$ al $x$ está en el dominio de $f$, pero sólo escribir la regla de $f(x)=x$ no define la misma función que lo que empezó. )
Dos funciones son iguales si tienen el mismo dominio, el rango y la misma regla.
Así, desde la $x=1$ no está en el dominio de $f$ pero es en el dominio de $g$, las funciones de $f$ $g$ son diferentes.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
