Cómo evaluar este límite sobre el número de Bernoulli?

Question

En primer lugar,definimos $\displaystyle I_{1}\left ( x \right )=\frac{\sin x}{x}$,$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}I_{1}\left ( x \right )=1$, también tenemos \begin{align*} I_2\left ( x \right )&=\frac{I_1\left ( x \right )-1}{x^{2}}~,~\lim_{x\rightarrow 0^+}I_2\left ( x \right )=-\frac{1}{6}\\ I_3\left ( x \right )&=\frac{I_2\left ( x \right )+\dfrac{1}{6}}{x^2}~,~\lim_{x\rightarrow 0^+}I_3\left ( x \right )=\frac{1}{120}\\ &\cdots \\ I_n\left ( x \right )&=\frac{I_{n-1}\left ( x \right )-\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}I_{n-1}\left ( x \right )}{x^{2}} \end{align*} Ahora tenemos a las siguientes preguntas.

(1)$I_n(x)$ está relacionado con el número de bernoulli, pero ¿cómo encontrarlo.

(2)Evaluar $\displaystyle \lim_{k\rightarrow +\infty }\left [ \lim_{x\rightarrow 0^{+}}I_{2k}\left ( x \right ) \right ]~,~\lim_{k\rightarrow +\infty }\left [ \lim_{x\rightarrow 0^{+}}I_{2k+1}\left ( x \right ) \right ]~,~k\in \mathbb{Z}.$

Answer 1

Sobre la segunda pregunta: el uso de la Taylor seres $$\sin\left(x\right)=\sum_{k\geq0}\frac{\left(-1\right)^{k}x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!} $$ we note that $$\frac{\sin\left(x\right)}{x}=\sum_{k\geq0}\frac{\left(-1\right)^{k}x^{2k}}{\left(2k+1\right)!} $$ and so $$\lim_{x\rightarrow0^{+}}I_{1}\left(x\right)=1 $$ furthermore $$\sum_{k\geq0}\frac{\left(-1\right)^{k}x^{2k}}{\left(2k+1\right)!}-1=\sum_{k\geq1}\frac{\left(-1\right)^{k}x^{2k}}{\left(2k+1\right)!} $$ and so $$I_{2}\left(x\right)=\frac{\sum_{k\geq1}\frac{\left(-1\right)^{k}x^{2k}}{\left(2k+1\right)!}}{x^{2}}=\sum_{k\geq1}\frac{\left(-1\right)^{k}x^{2\left(k-1\right)}}{\left(2k+1\right)!}\stackrel{x\rightarrow0^{+}}{\rightarrow}-\frac{1}{6} $$ and so on, hence we have $$I_{n}\left(x\right)=\sum_{k\geq n-1}\frac{\left(-1\right)^{k}x^{2\left(k-n+1\right)}}{\left(2k+1\right)!}\stackrel{x\rightarrow0^{+}}{\rightarrow}\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\left(2n-1\right)!} $$ then $$\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\lim_{x\rightarrow0^{+}}I_{2n}\left(x\right)\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}-\frac{1}{\left(4n-1\right)!}=0 $$ and $$\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\lim_{x\rightarrow0^{+}}I_{2n+1}\left(x\right)\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\left(4n-3\right)!}=0.$$ Sobre la primera pregunta, Mathematica reconoce a la serie como una función hipergeométrica $$I_{n}\left(x\right)=\sum_{k\geq n-1}\frac{\left(-1\right)^{k}x^{2\left(k-n+1\right)}}{\left(2k+1\right)!}=\frac{\left(-1\right)^{n+1}\,_{1}F_{2}\left(1;n,n+\frac{1}{2};-\frac{x^{2}}{4}\right)}{\left(2n-1\right)!}$$, pero no sé si hay algún tipo de relaciones con los números de Bernoulli, probablemente sería más útil en las aclaraciones y detalles en la pregunta.