Hay una nula establece que no es un conjunto de Borel?

Question

En mi módulo de notas, si $A$ es un Borel y $m(A)=0$, entonces no es necesariamente cierto que cualquier subconjunto $B$ $A$ ( $m(B=0)$ ) es Borel.

Así que me pregunto si hay una nula establece que no es un conjunto de Borel?

Answer 1

Podemos garantizar la existencia de uno, pero no sé si uno puede encontrar de una manera directa.

Deje $\phi$ ser el Cantor Lebesgue función y definir $\psi(x)=\phi(x)+x$. A continuación, $\psi$ es estrictamente creciente continua de la función de mapeo de $[0,1]$$[0,2]$, y por otra parte, los mapas que el conjunto de Cantor en un conjunto de medida positiva.

Deje $C$ ser el conjunto de Cantor. Luego ya que cada conjunto que ha positivos exterior de medida contiene un no-medibles conjunto, $\psi(C)$ contiene un no-medibles conjunto, $A$. A continuación, $\psi^{-1}(A)$ es un subconjunto de a$C$, por lo que se puede medir con la medida de cero, y no es Borel, porque la imagen de un conjunto de Borel a través de una función continua es medible.

Answer 2

Ver este esclarecedor Wikipedia discusión.