Cómo demostrar que la serie converge para todos los $\theta$?

Question

Cómo demostrar que las siguientes series convergen para cada $\theta$, cualquier sugerencia son bienvenidos?

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\sin(n\theta)}{n}.$$

Answer 1

Su serie es sólo el de Fourier senoidal de la serie de la (onda de diente de sierra periódico, a continuación de la función de $f(\theta)=-\frac{\theta}{2}$ definido a lo largo del $[-\pi,\pi]$, por lo tanto: $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n \sin(n\theta)}{n}=\left\{\begin{array}{rcl}-\frac{1}{2}(\theta\operatorname{mod} 2\pi)&\text{if}&\theta\not\in\pi\mathbb{Z},\\ 0&\text{if}&n\in\pi\mathbb{Z},\end{array}\right.$$ donde $x\to x\operatorname{mod} 2\pi$ es la intención de asignar cualquier número real en $[-\pi,\pi]$. Esto acaba de la siguiente manera: $$-\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}\frac{x}{2}\sin(nx)\,dx = \frac{(-1)^n}{n}$$ que se puede comprobar a través de la integración por partes.

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Como una alternativa, usted puede probar la convergencia al darse cuenta de que: $$\sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n\sin(n\theta)}{n}=\sum_{n=1}^N \frac{\cos(\pi n)\sin(n\theta)}{n}=\frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^N \frac{\sin((\theta+\pi)n)}{n}+\sum_{n=1}^N \frac{\sin((\theta-\pi)n)}{n}\right)$$ y puesto que las sumas parciales de $\sin(\psi n)$, para cualquier $\psi\not\in\pi\mathbb{Z}$, están delimitadas por $\frac{1}{|\sin(\psi/2)|}$, las condiciones de Dirichlet de la prueba de que se cumplan.

Answer 2

Sugerencia: puede utilizar de Dirichlet de la prueba.

Añadido: Usted necesita obligado sumas parciales

$$ \sum_{i}^{n} (-1)^i\pecado(i\theta) = {\frac { \left( -1 \right) ^{n}\sin \left( \theta\n \right) + \left( -1 \right) ^{n}\sin \left( \theta\n+\theta \right) -\sin \left( \theta \right) }{2+2\,\cos \left( \theta \right) }}$$

que es fácil de hacer.