¿Resolución de la relación de recurrencia?

Question

Consideremos la relación de recurrencia $a_1=8,a_n=6n^2+2n+a_{n1}$ . Dejemos que $a_{99}=K\times10^4$ El valor de $K$ es______ .

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Mi intento :

$a_n=6n^2+2n+a_{n1}$

$=6n^2+2n+6(n1)^2+2(n1)+a_{n2}$

$=6n^2+2n+6(n1)^2+2(n1)+6(n2)^2+2(n2)+......+a_1$

$=6n^2+2n+6(n1)^2+2(n1)+6(n2)^2+2(n2)+......+6.1^2+2.1$

$=6(n^2+(n1)^2+...+2^2+1^2)+2(n+(n1)+...+2+1)$

$=6×n(n+1)(2n+1)/6+2×n(n+1)/2$

$=n(n+1)(2n+1+1)$

$=2n^3+2n^2+2n^2+2n$

$=2n(n^2+n+n+1)$

$=2n(n^2+2n+1)$

$a_n=2n(n+1)^2$

para $n=99, a_{99}=2×99×(99+1)^2=198×10^4$

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Estoy buscando un truco corto o una forma alternativa, ¿puede explicar por favor?

Answer 1

Dejemos que $b_{n}=\frac{a_{n}}{2}$ .

Entonces $b_{n}=3n^2+n+b_{n-1}$ .

Para cualquier $n$ polinomio de grado 3 $Q(x)$ se puede encontrar un $n+1$ polinomio de grado 3 $P(x)$ tal que $P(x)-P(x-1)=Q(x)$ .

Entonces, usa esto para notar que $b_{n}-n(n+1)^2=b_{n-1}-(n-1)n^2$ ya que $n(n+1)^2-(n-1)n^2=3n^2+n$ .

Así, $b_{n}-n(n+1)^2$ es una constante. Pero como $b_{1}=0$ , entonces esto implica que $a_{n}=2n(n+1)^2$ .

Así, $a_{99}=198 \times 10^4$ .

Answer 2

La idea es encontrar una solución de forma cerrada. Empezamos con $$ a_1 = 8 \\ 6n^2+2n = a_n -a_{n1} $$ que es un relación de recurrencia lineal no homogénea y buscar el anterior elementos de la secuencia: $$ 6(n-1)^2 + 2(n-1) = 6n^2 -12 n + 6 + 2n - 2 = 6 n^2 - 10n + 4 = a_{n-1} - a_{n-2} $$ La sustracción da $$ 12n - 4 = a_n - 2 a_{n-1} + a_{n-2} $$ donde el polinomio no homogéneo se ha reducido en un grado y el orden ha aumentado de $1$ a $2$ . La repetición del procedimiento conduce a $$ 12(n-1) - 4 = 12 n - 16 = a_{n-1} - 2 a_{n-2} + a_{n-3} \Rightarrow \\ 12 = a_n - 3 a_{n-1} + 3 a_{n-2} - a_{n-3} \Rightarrow \\ 12 = a_{n-1} - 3 a_{n-2} + 3 a_{n-3} - a_{n-4} \Rightarrow \\ a_n = 4 a_{n-1} - 6 a_{n-2} + 4 a_{n-3} - a_{n-4} $$ que ahora es un relación de recurrencia homogénea de orden $4$ .

El polinomio característico es $$ p(t) = t^4 - 4 t^3 + 6 t^2 - 4 t + 1 = (t-1)^4 $$ por lo que la solución es $$ a_n = k_1 1^n + k_2 n 1^n + k_3 n^2 1^n + k_4 n^3 1^n = k_1 + k_2 n + k_3 n^2 + k_4 n^3 $$ El $k_i$ se desprende de la $a_i$ valores: \begin{align} a_1 &= 8 \\ a_2 &= 6 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 8 = 36 \\ a_3 &= 6 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 + 36 = 96 \\ a_4 &= 6 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 + 96 = 200 \end{align} Obtenemos un sistema lineal $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 64 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \\ k_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 36 \\ 96 \\ 200 \end{pmatrix} $$ con la solución $$ k = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} $$ por lo que tenemos $$ a_n = 2 n + 4 n^2 + 2 n^3 = 2n (1 + 2n + n^2) = 2 n (n + 1)^2 $$ Entonces $$ a_{99} = 2 \cdot 99 \cdot 100^2 = 198 \cdot 10^4 $$ y $K = 198$ .

Answer 3

Como $a_n-a_{n-1}$ es un polinomio cuadrático, $a_n$ debe ser un polinomio cúbico. Por integración, cerca de $\dfrac63n^3=2n^3$ .

Entonces el factor $10^4$ es muy probable que sea $(99+1)^2$ y podemos apostar por la expresión $2n(n+1)^2$ . Funciona para $n=1$ ( $a_1=8$ ) y $n=2$ ( $a_2=36$ ). Esto es suficientemente convincente.

$$2n=198.$$

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Conociendo mejor la fórmula de Faulhaber, (el primer coeficiente es siempre $\dfrac1d$ el segundo coeficiente es siempre $\dfrac12$ ), podemos predecir que el término cúbico es exactamente $\dfrac63n^3=2n^3$ y el término cuadrático es exactamente $\dfrac62n^2+n^2=4n^2$ . Esto encaja con $2n(n+1)^2$ .

Answer 4

$$a_n-a_{n-1}=6n^2+2n$$

Ahora suma ambos lados de $n=2$ a $x$ . Se termina con una suma telescópica en el lado izquierdo que facilitará drásticamente las cosas y ayudará a encontrar la forma cerrada, suponiendo que se conocen algunas fórmulas de suma.

$$\sum_{n=2}^x (a_n-a_{n-1})= \sum_{n=2}^x (6n^2+2n)$$

$$a_x-a_1=\sum_{n=2}^x (6n^2+2n)$$

$$a_x=a_1+\sum_{n=2}^x (6n^2+2n)$$

$$a_x=a_1-8+\sum_{n=1}^x (6n^2+2n)$$

$$a_x=\sum_{n=1}^x (6n^2+2n)$$

Por lo tanto, $a_{99}$ sería:

$$a_{99}=\sum_{n=1}^{99} (6n^2+2n)$$

Donde ahora se pueden aplicar fórmulas de suma.