Tratando de Integrar los$ \iint xy\log|x-y|\, dy\,dx $

Question

Hola estoy tratando de integrar los $$ I:=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}xy\log\left(\,\left\vert\,x - y\,\right\vert\,\right) \,{\rm d}y\,{\rm d}x,\qquad 0 < a <b $$ para $x,y\in \mathbb{R}$. He añadido los límites de integración para tratar cualquier tipo de problemas de convergencia como se sugiere. Podemos re-escribir esto como $$ I=\frac{1}{2}\int_a^b \int_a^b xy\log \left((x-y)^2\right)\, y\,dx. $$ A partir de aquí podemos re-escribir el registro como $$ \frac{1}{2}\int_a^b \int_a^b xy \left(\int\frac{2}{x-y}dx\right)dy\, dx. $$ No estoy seguro de cómo abordar este de aquí hasta el final. Gracias.

Answer 1

Si $x,y\in[a,b]\:\:$converge, de lo contrario no. Por simplicidad supongamos integral doble es asumida $[0,1]\times[0,1]$.Se tiene registro de singularidad que no es mala, y la integral converge $$ \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} xy\log|x-y|\, dy\,dx=\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}xy\log(y-x)\,dx\,dy+\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}xy\log(x-y)\,dx\,dy $$ $$=\int_{0}^{1}y\int_{0}^{y}x\log(y-x)\,dx\,dy+\int_{0}^{1}y\int_{y}^{1}x\log(x-y)\,dx\,dy$$ $$=\int_{0}^{1}y\int_{0}^{y}(y-t)\log t\,dt\,dy+\int_{0}^{1}y\int_{0}^{1-y}(y+s)\log s\,ds\,dy$$ $$=\int_0^1y(\frac{1}{2}y^2\log y-\frac{3}{4}y^2)dy+\int_0^1y\big(\frac{1}{2}(1-y^2)\log(1- y)-\frac{1}{4}(1-y)(1+3y)\big)dy\approx -0.437.$$

Answer 2

Primera noticia de que el integrando es simétrica en $x$$y$, por lo que es suficiente para el doble de la $y > x$ parte; que es $$ I:=2\int_{a}^{b}\int_{x}^{b}xy\log\left(y - x \right) \,{\rm d}y\,{\rm d}x,\qquad 0 < a <b$$ Cambio de variables a$u = y - x$$v = y + x$. El triángulo de la integración gira a otro triángulo y obtenemos $${1 \over 4}\int_{0}^{b}\int_{ 2a + u }^{2b - u}{v - u \over 2}{v + u \over 2}\log\left(u \right) \,{\rm d}v\,{\rm d}u,\qquad 0 < a <b$$ $$= {1 \over 16}\int_{0}^{b}\log\left(u \right)\int_{ 2a + u }^{2b - u}(v^2 - u^2) \,{\rm d}v\,{\rm d}u,\qquad 0 < a <b$$ $$ = {1 \over 16}\int_{0}^{b - a}\log\left(u \right)(-{4 \over 3})(2 a^3 + 3 a^2 u - (b - u)^2 (2 b + u))) \,du$$ La integral en lugar apesta, pero se puede hacer en una escuela primaria de la moda a través de una integración por partes.