Número medio de raíces de un polinomio módulo p

Question

Dejemos que $f \in \mathbb{Z}[X]$ sea un polinomio irreducible no constante, y considere este polinomio módulo $p$ para cada primo $p$ . En promedio, ¿cuántas raíces tiene $f$ tienen módulo $p$ ? Es decir, si $r(p)$ denota el número de raíces de $f$ modulo $p$ ¿Qué es? \begin{equation} \lim_{X \rightarrow \infty} \frac{1}{\pi(X)}\sum_{p \leq X}r(p) \ ? \end{equation} donde $\pi(X)$ es la función de recuento de primos. Si el grado de $f$ es $1$ entonces la respuesta es trivial $1$ . Si el grado de $f$ es $2$ entonces por Reciprocidad Cuadrática y el teorema de Dirichlet sobre los primos en las progresiones aritméticas, se puede demostrar de nuevo que la respuesta es $1$ .

¿Existe siempre esta cantidad? ¿Es igual a 1? Incluso la información sobre otros casos específicos, como los polinomios irreducibles cúbicos o cuárticos, sería útil.

Answer 1

Esta cantidad siempre existe y es siempre igual a $1$ . Por Teorema de la densidad de Chebotarev la densidad de los primos $p$ tal que $f$ tiene $k$ raíces $\bmod p$ es igual a la proporción de elementos del grupo de Galois de $f$ que arreglan $k$ al actuar sobre las raíces. Como el grupo de Galois actúa transitivamente sobre las raíces, el número medio de puntos fijos es $1$ por el lema de Burnside.