Dos preguntas sobre los números ordinarios.

Question

Estoy tratando de probar que hay un ordinal incontable todos los miembros son ordinales contables. Esto es bastante fácil si puedo afirmar que la clase de todos los ordinales contables es un conjunto y luego tomar la unión de ese conjunto (que ya sé que es un ordinal). Sin embargo, no estoy seguro de cómo justificar el hecho de que se trata de un conjunto y no de una clase adecuada.

En segundo lugar, me preguntaba si una unión de una clase adecuada de ordinales es necesariamente un ordinal de la misma manera que lo es una unión de un conjunto de ordinales.

Esperando sus respuestas. Gracias.

Answer 1

Primero note que cada ordinal contable está en bijección con $ \omega $ por lo tanto podemos verlo simplemente como una relación sobre $ \omega $ que lo ordena bien por este tipo de orden.

Por lo tanto, podemos definir una relación de equivalencia en $ \mathcal P( \omega\times\omega )$ en el que cada dos órdenes de bienestar son equivalentes si y sólo si son isomórficos (y todo lo que no sea un orden de bienestar de $ \omega $ se agrupa en una gran clase de equivalencia).

Ahora puedes mostrar que esto también hace un conjunto, es una colección definible de $ \mathcal P( \mathcal P( \omega\times\omega ))$ y como cada relación bien ordenada es isomorfa a un ordinal único, hay un mapa definible de ese conjunto sobre la clase de ordinales contables. Por lo tanto, los ordinales contables forman un conjunto.

La unión de este conjunto es de nuevo un conjunto, por el axioma de la unión, y es un ordinal al mostrar que es transitivo y $ \in $ lo ordena bien.

En cuanto a la segunda pregunta, la respuesta es obviamente no. Si la unión de una clase adecuada de ordinales sería un ordinal, entonces tendría que ser un ordinal que es un conjunto, que tiene una clase adecuada de miembros. La unión de cualquier clase propia de ordinales, si es así, es la clase entera de ordinales.

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Answer 2

La unión de cualquier clase adecuada de ordinarios es la clase de todos ordinales, en realidad, que no es, en sí mismo, un ordinal. Si esto no fuera así, entonces habría un ordinal menos $ \alpha $ no en el sindicato. Entonces $ \alpha $ sería necesariamente un límite superior en los ordinales de la clase, por lo que la clase está contenida en el conjunto $ \alpha\cup\ { \alpha\ }$ y por lo tanto no es apropiado, en absoluto.

Para su primera pregunta, considere el conjunto $$ \mathcal {W}= \bigl\ { \langle X,R \rangle\in\mathcal {P}( \omega ) \times\mathcal {P}( \omega\times\omega ):R \text { well-orders }X \bigr\ }.$$ Cada tipo de pozo contable está representado por al menos uno de los miembros de este conjunto, de modo que por sustitución, la colección de tipos de pozo contables (ordinales) es un conjunto.