Algunas ideas para empezar (voy a añadir una solución completa más tarde si es necesario):
La fracción
$$K_m = \frac{\#\{k:1\leq k\leq m; k \in K\}}{m}$$
se encuentra entre el$0$$1$, por lo que la única manera de que el límite de $\lim_{m\to\infty} K_m$ puede no existir si $0 \le \liminf_{m\to\infty} K_m < \limsup_{m\to\infty} K_m \le 1$, y tal vez la forma más sencilla de organizar esta es para buscar secuencias donde tenemos bloques de longitud creciente de enteros seguido por bloques de enteros que faltan.
Por ejemplo:
$$F = \bigcup_{k=0}^\infty \, \{ 2^{2k}+1, \dots , 2^{2k+1}\} = \{2, \,\,\,\,5,\dots,8, \,\,\,\,17,\dots,32, \,\,\,\,\dots\}$$
Se puede demostrar que para esta secuencia $F$, el liminf será de 1/3 y la limsup será de 2/3, por lo que esta secuencia no está definitivamente en $\mathcal{C}$?
[Editar:
Me he dado cuenta de que esto se podría hacer más, simplemente por el cambio de mi definición de $F$$1$, y tomando nota de que $F$ consistiría entonces en números enteros cuyas representaciones binarias tienen un número impar de dígitos.]
Intuitivamente, ¿qué podemos hacer para construir $F$ está: se compone de 2, excluir el próximo 2 enteros, incluyen los siguientes 4 números enteros, excluir el próximo 8 enteros, etc. así que si usted calcular la fracción $F_m$ sólo después de que un bloque de números enteros, se obtiene una fracción cerca de 2/3, pero si se calculan $F_m$ justo después de que un excluidos bloque de números enteros, se obtiene una fracción cerca de 1/3.
Esta secuencia $F$ finalmente será la intersección de las otras dos secuencias (que no pertenecen a $\mathcal{C}$), dándole a usted la requiere de ejemplo.
Después construimos dos más secuencias, $H, K$ como sigue:
Para $H$, se toma la secuencia que consta de todos los números enteros que aún son Y están en $F$, y para la construcción de $K$ tomar todos los enteros impares que NO están en $F$.
Por desgracia, $H$ $K$ no $\mathcal{C}$, pero estamos casi allí ...
Deje $E$ ser la secuencia que consta de todos los números enteros, Esto fácilmente visto en $\mathcal{C}$ e ha "densidad" 1/2.
Finalmente definir la secuencia de $A = H \cup K$ y mostrar que tiene la "densidad" de 1/2, y es, por tanto, en $\mathcal{C}$, y, a continuación, $E$ $A$ (en el último) las secuencias que necesita, que están ambas en $\mathcal{C}$, pero su intersección es no.
