Derivado de Conjuntos arbitrarios de espacio métrico

Question

Editado

Tomemos cualquier conjunto $E$ en un espacio métrico. Es posible encontrar una $E'$ $E''$ tal que $E$ $E'$ es no vacía, sino $E''$ está vacía.

Si es así, Vamos ahora a decir $E^n$ $n$th derivados conjunto de $E$. Es una generalización posible cuando podemos encontrar un conjunto $E$ tal que $E^n$ es no vacío, sino $E^{n+1}$ está vacía?

P. S. Por arbitrarias que me refiero es al menos posible encontrar un ejemplo de espacio métrico y uno de esos conjuntos $E$, donde la primera afirmación puede ser satisfecho.

Answer 1

En caso de que el espacio métrico tiene al menos un clúster punto, se puede tomar como $E$ cualquier secuencia de clusters en torno a ese punto y no clúster en cualquier otro lugar. Los derivados del conjunto de la secuencia será sólo el clúster de punto y, obviamente, los derivados de conjunto de un elemento de conjunto es vacío. E. g., tome $(1/n)_{n \geq 1} \subset \mathbb R$.

Usted puede repetir este proceso a la mayor dimensión al menos en $\mathbb R^n$. Por ejemplo, tome $E = (1/n, 1/m)_{n,m \geq 1} \subset \mathbb R^2$. Entonces usted tiene $E' = (1/n, 0)_{n \geq 1} \cup (0, 1/m)_{m \geq 1}$$E'' = {(0,0)}$. Y así sucesivamente.

Answer 2

$\newcommand{\Cantor}{\mathcal{C}}$Un muy buen espacio métrico para lograr esto es $\Cantor = \{0,1 \}^{\mathbb{N}}$ que consta de todas las infinitas secuencias binarias. (Voy a tomar $\mathbb{N} = \{ 0 , 1 , 2 , \ldots \}$ en la secuela.) Una métrica para este espacio está dada de la siguiente manera: para $\mathbf{x} = ( x_n )_{n \in \mathbb{N}} , \mathbf{y} = ( y_n )_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{N}$ definimos $$d ( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) = \begin{cases} 0, &\text{if }\mathbf{x} = \mathbf{y} \\ 2^{-(n+1)}, &\text{if }\mathbf{x} \neq \mathbf{y}, n = \min \{ n \in \mathbb{N} : x_n \neq y_n \}. \end{casos}$$

Una base para este espacio es obtenida por la toma de todos los conjuntos de la forma $$[s] = \{ \mathbf{x} \in \Cantor : s \sqsubset \mathbf{x} \}$$where $s$ is a finite binary sequence (and $s \sqsubset \mathbf{x}$ means that $s$ is an initial segment of $\mathbf{x}$).

(Este espacio es homeomórficos a la habitual ternario de Cantor conjunto, y es, como era de esperar, llamado el espacio de Cantor.)

Puramente formal de la construcción de la necesaria conjuntos es la siguiente: Para cada una de las $n$ vamos $$E_n = \{ \mathbf{x} \in \Cantor : \mathbf{x} \text{ has at most }n \text{ }1\text{s} \}$$ These sets are easily seen to be closed. (If $\mathbf{y} \noen E_n$, then $\mathbf{y}$ has at least $n+1$ $1$s, so let $\ell$ be the coordinate of the $(n+1)$st $1$, and let $s$ be the initial segment of $\mathbf{y}$ up to (and including) the $\ell$th coordinate. Then every $\mathbf{z} \in [s]$ contains at least $n+1$ $1$s, and is not in $E_n$.)

Pretendemos que $( E_{n+1} )^\prime = E_n$. Tenga en cuenta que si $\mathbf{x} \in E_{n+1} \setminus E_n$, $\mathbf{x}$ tiene exactamente $n+1$ $1$s en ella. Deje $\ell$ el valor de la coordenada de la $(n+1)$st $1$$\mathbf{x}$, y deje $s$ denotar el segmento inicial de $\mathbf{x}$ hasta, e incluyendo, el $\ell$th de coordenadas. A continuación,$E_{n+1} \cap [s] = \{ \mathbf{x} \}$, y por lo $\mathbf{x}$ es un punto aislado de a $E_{n+1}$. Esto implica que $(E_{n+1})^\prime \subseteq E_n$. Por el contrario, si $\mathbf{x} \in E_n \subseteq E_{n+1}$, entonces dado cualquier segmento inicial de $s$ $x$ podemos encontrar una coordenada $\ell > \mathrm{length} (s)$ tal que $x_\ell = 0$. Definir $\mathbf{y}$, de modo que $$y_n = \begin{cases} x_n, &\text{if }n \neq \ell \\ 1, &\text{if }n = \ell. \end{casos}$$ A continuación,$\mathbf{y} \in E_{n+1} \cap [s]$, y es distinta de $\mathbf{x}$. Por lo tanto,$\mathbf{x} \in E_{n+1}^\prime$.

(Uno puede ir un poco más allá y construir, para cada una de las $\alpha < \omega_1$ cerrado $E \subseteq \Cantor$ tal que $E^{(\alpha)} \neq \emptyset$ pero $E^{(\alpha+1)} = \emptyset$.)

La cosa agradable sobre $\Cantor$ es que si $X$ es cualquier vacío perfecto polaco espacio (es decir, un separables completa de métricas sin puntos aislados) incluye un cerrado homeomórficos copia de $\Cantor$, y así cada vacío perfecto polaco espacio ha cerrado los subgrupos de la clase deseada.