La extensión de un campo finito no puede escribirse como la unión de subextensiones propias

Question

Dejemos que $K \to L$ sea una extensión de campo finito con $[L:K] = n$ y $K$ un campo finito de cardinalidad $q$ . Una subextensión propia es una extensión de campo $K \to M$ tal que $M \subsetneq L$ . Quiero demostrar que $L$ no puede escribirse como la unión de sus propias subextensiones.

Ya he demostrado que puedo escribir cualquier subextensión adecuada $M$ como $M = \{x \in L\;|\; x^{q^m} - x = 0\}$ para algunos $m \in \mathbb{N}$ . Usando esto, puedo mostrar que no puedo escribir $L$ como unión de tales subextensiones porque eso llevaría a una contradicción con el hecho de que el grupo multiplicativo de un campo finito es cíclico (implicaría que $L$ no puede contener un elemento de orden $q^n -1$ ). Sin embargo, todavía no hemos mostrado ese hecho en clase, así que me pregunto si estoy pasando por alto algo mucho más sencillo.

Answer 1

Las subextensiones -o campos intermedios- $K \subset M \subset L$ están en biyección con los divisores de $n$ a cada $d \mid n$ corresponde un único campo intermedio $M_d$ con $[M_d : K] = d$ - es el conjunto de ceros de $X^{q^d} - X$ en $L$ . Por lo tanto, tenemos

\begin{align} \operatorname{card} \Biggl(\bigcup_{\substack{d\mid n \\ d < n}} M_d\Biggr) &\leqslant \sum_{\substack{d\mid n \\ d < n}} \operatorname{card} M_d \\ &= \sum_{\substack{d\mid n \\ d < n}} q^d\\ &\leqslant \sum_{k = 1}^{n-1} q^k \\ &< q^n, \end{align}

desde $q \geqslant 2$ .