La integración de $x^3 \tan^{-1}(x)$ por partes

Question

Estoy teniendo problema con esta pregunta. ¿Cómo se podía integrar a $$\int x^3\tan^{-1}x\,dx\text{ ?}$$ Después de probar demasiado, me quedé atrapado en este punto. ¿Cómo se podía integrar a $$\int \frac{x^4}{1+x^2}\,dx\text{ ?}$$

Answer 1

Usted está casi allí. Está usted familiarizado con polinómica de la división? Aplicar el algoritmo para obtener:

$$ \frac{x^4}{1+x^2} = x^2 + \frac{1}{1+x^2} -1 $$

Esto debería ser fácil de integrar.

Answer 2

Has hecho la parte más difícil. Ahora, el problema no es tanto acerca de "cálculo"; usted necesita simplemente para recordar lo que has aprendido en álgebra:

$(1)$ Divide el numerador de el integrando: $\,{x^4}\,$ por su denominador, $\,{1+x^2}\,$ *polinómica división *, (vinculada a servir de referencia).

Esto le dará a usted: $$\int \frac{x^4}{1+x^2}\,dx = \int (x^2 + \frac{1}{1+x^2} -1)\,dx=\;\;?$$

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Alternativamente: Observe también que $$\int \frac{x^4}{x^2 + 1}\,dx= \int \frac{[(x^4 - 1) + 1]}{x^2 + 1}\,dx$$ $$= \int \frac{(x^2 + 1)(x^2 - 1) + 1}{x^2 + 1} \,dx = \int x^2 - 1 + \frac{1}{x^2 + 1}\,dx$$

Confío en que usted puede tomar desde aquí?