La prueba está a la derecha de las líneas, pero te has parado a mitad de camino a través de. Podemos probar una proposición similar mediante el uso de la prueba por contradicción.
Considere la posibilidad de $p$, un resultado positivo, el primer.
Supongamos que $\sqrt{p}$ es racional. Si $n$ es racional, entonces no existe número natural $a$ $b$ $b \neq 0$ tal que $\sqrt{p} = a/b$. Por otra parte, sin pérdida de generalidad podemos suponer que la $a$ $b$ no tienen ningún factor común. (Si ellos no tienen factores comunes, entonces podríamos cancelar ellos, por ejemplo, $4/6$ volvería $2/3$.) Vamos a demostrar que esta hipótesis inicial conduce a una contradicción.
Si $\sqrt{p} = a/b$ $p = a^2/b^2$ $a^2 = pb^2.$ Desde $p$ es un factor de la derecha, a continuación, $p$ debe ser también un factor de la mano izquierda, es decir, un factor de $a^2$. Si $p$ es un factor de $a^2$ debe ser también un factor de $a$. Si $p$ es un factor de $a$, entonces, por definición, existe un entero $k$ que $a = pk$.
Utilizando el hecho de que $a^2 = pb^2$ $a = pk$ vemos que $(pk)^2 = pb^2$. La expansión de la mano izquierda da $p^2k^2=pb^2$. Dividir ambos lados por $p$ rendimientos $pk^2 = b^2$. Claramente, $p$ divide el lado izquierdo, y por lo $p$ debe dividir el lado derecho. Si $p$ divide $b^2$ $p$ también debe dividir $b$.
De ello se desprende que $p$ divide ambos $a$ $b$ , pero esto contradice a cabo hipótesis previa de que $a$ $b$ sin factores comunes. Por lo tanto, debe ser una falla en nuestro argumento. En cada paso, además fuera hipótesis original, ha sido la lógica pura y no podría ser incorrecta. De ello se sigue que nuestro error debe haber sido nuestra hipótesis de que no existe $a$ $b$ que $\sqrt{p} = a/b$, es decir, que $\sqrt{p}$ es racional.
Dado un número , ya sea racional o irracional, de ello se sigue que $\sqrt{p}$ debe ser irracional.
Nota: Para completar su comprensión, trate de seguir el mismo argumento a través de con $n = 4$. Usted encontrará que usted rápidamente se quede atascado.
