Supongamos que $I\oplus K$ es un módulo libre, entonces " $KI\subseteq K\cap I$ "

Question

He estado mirando esta prueba en las Actas de la AMS, y no sigo la lógica del autor.

Este es el montaje:

$I$ es un ideal en un anillo $R$ y es proyectiva como derecho $R$ módulo. Por lo tanto es un sumando en un derecho libre $R$ módulo, $F=I\oplus K$ .

Ahora, la línea de razonamiento continúa (textualmente, excepto por los cambios de símbolos):

Supongamos que $K\neq 0$ . Desde $F$ es isomorfo a una suma directa de copias de $R$ tiene una multiplicación canónica. Sea $\operatorname{Ann}_F(I)$ sea el aniquilador de $I$ en $F$ . Entonces $KI\subseteq K\cap I=0$ Así que $\operatorname{Ann}_F(I)\neq 0$ .

Ahora bien, si $K$ era un ideal correcto de $R$ entonces $KI\subseteq K\cap I$ sería fácil de entender. El único conjunto $K$ y $I$ son comparables en $F$ Así que $(I\oplus 0)\cap( 0\oplus K)=0\oplus 0$ en la suma directa. Pero el lado izquierdo aparentemente está multiplicando $K$ a través de la $F$ acción del módulo, para que realmente estemos hablando de $(0\oplus K)I$ . ¿Por qué decir que es un subconjunto de $I\oplus 0$ ?

Claro, cada elemento de $(0\oplus K)I$ cuando se expresa como una tupla en $F$ tiene entradas en $I$ pero, por lo que veo, eso no significa nada sobre su pertenencia a $I\oplus 0$ .

También debo decir que el anillo $R$ es autoinjetivo derecho y el ideal $I$ tiene cero aniquilador izquierdo en $R$ pero no estoy seguro de que eso suponga una diferencia. El autor no apela a ninguna de las dos propiedades en la línea de pensamiento anterior. De hecho, esa $I$ tiene cero aniquilador izquierdo permite inmediatamente decir que $Ann_F(I)=0$ Pero como se trata de derivar una contradicción, tengo que ver si hay algún mérito en lo que el autor ha afirmado.

Todavía no he conseguido cocinar un contraejemplo, sobre todo porque me cuesta mucho realizar ideales proyectivos como sumandos en módulos libres. ¿Me he perdido alguna observación o mi duda está justificada? Tengo la ligera sospecha de que se ha producido un error cognitivo por parte del autor.

Answer 1

Creo que su duda está justificada.

He aquí un ejemplo muy sencillo (en el que el anillo es autoinjetivo derecho y el ideal $I$ tiene cero aniquilador izquierdo en $R$ ).

Dejemos que $R=k$ un campo, y que $I=k$ .

$I$ puede considerarse como el (derecho $k$ -) sumando de $F=k\oplus k$ abarcados por $(1,1)$ con complemento $K$ abarcados por $(0,1)$ .

Entonces el aniquilador de $I$ en $F$ con la "multiplicación canónica" (que supongo que significa por coordenadas) es cero.

Por supuesto, en este ejemplo se podría hacer una elección diferente de la incrustación de $I$ en $F$ para que tenga un aniquilador no nulo. Pero la multiplicación "canónica", y por tanto el aniquilador, dependen de las elecciones que hagas.

Answer 2

La respuesta se abandona. Sólo sigue presente para apoyar un futuro comentario.

No son $K$ y $I$ ideales en el anillo $F$ ?

(¿Cuál es su multiplicación? Retrocede dos frases).

Answer 3

Sugerencia: mira con atención la prueba de la existencia de $K$ , $K$ es el núcleo del morfismo suryectivo $F\rightarrow P$ .