Demostrar que un primer $p$ puede ser representado como la diferencia de dos cubos si y sólo si es de la forma $p = 3k(k+1) + 1$ algunos $k$.

Question

Esta es una pregunta de David Burton Elementales de la Teoría de números, p. 280, en "Representación de los números Enteros como las Sumas de Cuadrados."

Demostrar que un primer $p$ puede ser representado como la diferencia de dos cubos si y sólo si es de la forma $p = 3k(k+1) + 1$ algunos $k$.

Answer 1

Como ya se ha señalado por mathreadler, tenemos $a=b+1$, entonces: $$p=a^2+ab+b^2=b^2+1+2b+b^2+b+b^2=3b(b+1)+1$$

Por lo $p$ debe ser de la forma $3k(k+1)+1$.

En el otro sentido, vamos a $p = 3k(k+1)+1$. Entonces claramente $p=(k+1)^3-k^3$.

Answer 2

Deje $p$ ser un positivo primer $p=x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\Rightarrow x-y=1$ o $x^2+xy+y^2=1$.

Si $x^2+xy+y^2=1$, a continuación, el primer es $2$ con la representación de $2=(1)^3-(-1)^3$ y esta excelente, no es de la forma $3k(k+1)+1$ por lo que el primer $2$ es una excepción. Al $x-y=1$ el formulario de pedido se obtiene inmediatamente.

Recíprocamente, todo entero $n$ de la forme $3k^2+3k+1$ es, obviamente, representable como una diferencia de dos cubos debido a $(k+1)^3-k^3=n$, por lo que es de todos prime $p$ de la misma forma.