Mostrar la secuencia de ${n^m + 1}\over {n^{m+1} + 1}$ $m \in \mathbb{R}$ es la disminución de la

Question

Considerar la secuencia de $\{a_n\}_1^\infty$ tal que $ a_n = $ ${n^m + 1}\over {n^{m+1} + 1}$ y $m \in \mathbb{R}$

EDIT: Esto es incorrecto por $m < -1$, a Continuación, añadir la condición de $m \geq -1$

Quiero mostrar esta secuencia es monótonamente decreciente.
Esta no es la tarea, he visto muchos ejemplos concretos de esto, sin embargo, y graficados muchos casos, y me gustaría mostrar esto para el caso general.

He intentado teniendo en cuenta el continuo caso y tomando la derivada, mediante el cociente de la regla puedo obtener un cuadrado en el denominador, y ya sólo estoy interesado en el signo de la derivada puedo tirar el denominador del cociente regla, entonces tengo:

$mx^{m-1}(x^{m+1} + 1) - (m+1)x^m(x^m + 1)$

Conectar $x = 1$ da un resultado negativo de la derivada que muestra el continuo de la función es decreciente en ese punto, así que tengo una sensación de que mi "conjetura" es correcta.
No sabe a dónde puedo ir desde aquí, y si hay una manera más sencilla sin tener que ir al caso continuo. La expansión de los soportes no ayuda mucho

Answer 1

$$\frac{n^m + 1}{n^{m+1} + 1} \geq \frac{(n+1)^m + 1}{(n+1)^{m+1} + 1} \Leftrightarrow \\ (n^m + 1)((n+1)^{m+1} + 1) \geq ((n+1)^m + 1)(n^{m+1} + 1)\Leftrightarrow \\ n^m (n+1)^{m+1} + n^m +(n+1)^{m+1} + 1\geq (n+1)^m n^{m+1} + (n+1)^m + n^{m+1} + 1 \Leftrightarrow \\ n^m (n+1)^{m} +n(n+1)^{m} \geq n^m (n-1) \Leftrightarrow \\ (n+1)^{m} +n(1+\frac{1}{n})^{m} \geq (n-1)$$

Como $m \geq -1$ y el exponenciales $(n+1)^x$ $(1+\frac{1}{n})^{x}$ están en aumento, tenemos

$$(n+1)^{m} +n(1+\frac{1}{n})^{m} \geq (n+1)^{-1} +n(1+\frac{1}{n})^{-1} = \frac{1}{n+1}+\frac{n^2}{n+1}> \frac{n^2-1}{n+1}=n-1 $$

Answer 2

Tomar $$ f(x) = \frac{x^m + 1}{x^{m+1} + 1} $$

Cuando diferenciar, su numerador debe ser $$ (x^{m+1} +1)mx^{m-1} - (x^m+1)(m+1)x^m = -x^{m-1}(x^{m+1} + (m+1)x - m) $$ Ahora, $x^m + (m+1)x - m > 0$ para grandes valores de $x$, lo $a_n$ es , finalmente, la disminución de. Sin embargo, un poco de cheques con pequeños valores de $x$ debe de decirle que está disminuyendo en todas partes.