Es el conjunto de medidas de todos los conjuntos medibles con finito medida cerrado?

Question

Deje $(X,M,\mu)$ ser una medida completa del espacio.

¿El conjunto de $\{\mu(E)|E\in M ,\mu(E)<\infty\}$ tiene que ser un subconjunto cerrado de $R$ ?

Gracias

Answer 1

La respuesta es no. Tomar los enteros positivos (o cualquier conjunto que los contiene) y poner un punto de masa de peso $1-\frac{1}{n}$ a cada entero positivo. A continuación, $1$ es en el cierre de su set, pero no se produce como medida de cualquier conjunto.

Answer 2

Una respuesta parcial está dada por el hecho de que el rango de un número finito de medida es cerrado. Además, la gama es convexo y por lo tanto, por el resultado anterior, cerrado si la medida que el espacio es atomless.