La respuesta a la primera pregunta es sí.
Deje $V$ ser finito dimensionales complejo espacio vectorial, y deje $\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\rightarrow\Bbb{C}$ ser un producto interior. Fijar una base $\{e_1,\ldots,e_n\}$, por lo que para cualquier par de vectores $u,v\in V$, tenemos
$$
\langle u,v\rangle=\left\langle\sum_{j=1}^n\alpha_je_j,\sum_{k=1}^n\beta_ke_k\right\rangle=\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\alpha_j\bar{\beta}_j\langle e_j,e_k\rangle
$$
Así que si definimos $M=(M_{ij})_{n\times n}=(\langle e_i,e_j\rangle)_{n\times n}$, tenemos exactamente la expresión
$$
\langle u,v\rangle = u^\intercal M \bar{v}
$$
como se desee. Es fácil comprobar que $M$ es Hermitian - esto se desprende de conjugar la simetría del producto interior: $\overline{\langle x,y\rangle}=\langle y,x\rangle$. Positiva la definición de la siguiente manera a partir de la positividad del producto interior - $\langle x,x\rangle>0$ todos los $x\in V\backslash\{0\}$.
Para la segunda afirmación, basta para mostrar la identidad $x^\intercal M \bar{y}=y^*\overline{M} x$. Esto es sencillo:
$$
x^\intercal M\bar{y}=\sum_j\alpha_j\sum_kM_{jk}\bar{\beta}_k=\sum_k\bar{\beta}_k\sum_jM_{jk}\alpha_j=y^*\overline{M}x
$$
Aviso de curso que debemos, a continuación, utilizar la matriz de $\overline{M}$, es decir, la misma matriz que no funciona. (Gracias a @user1551 para señalar esto)
