Evaluar complejos integrales participación de coseno

Question

Evaluar las integrales $$\int_{|z|=1}\dfrac{\cos z}{z-3}dz$$ and $$\int_{|z|=10}\dfrac{\cos z}{z-3}dz$$

El primero de ellos debería ser $0$, ya que la función $\dfrac{\cos z}{z-3}$ es holomorphic en el disco abierto $|z|<3$.

He tratado de parametrización un $z=10e^{i\theta}$$\theta\in[0,2\pi]$. La segunda integral se convierte en $$\int_0^{2\pi}\dfrac{\cos (10e^{i\theta})}{10e^{i\theta}-3}\cdot 10ie^{i\theta}d\theta$$ and I don't know how to continue from here. Or perhaps I should use Cauchy's integral formula, which says that the integral is equal to $$2\pi i\cdot f(3)\cdot n(\gamma,3) = \cos(3)\cdot \int_{|z|=10}\dfrac{1}{z-3}dz$$ ¿Cómo puedo integrar esta última?

Answer 1

Parametrización un la curva, etc., a veces pueden trabajar, pero no para explotar la eficiencia ofrecida por Cauchy los descubrimientos en el $19$th siglo. Estas ventajas le permiten calcular las integrales que nunca iba a encontrar a través de la parametrización un y así sucesivamente, que se reduce a variables reales.

El coseno es una función completa, por lo que esta función es holomorphic excepto en el punto donde el denominador es $0$. Ese punto no está rodeado de la primera curva, por lo que la integral sobre la curva es $0$.

Él está rodeado de su segunda curva, por lo que la integral es igual a $\cos 3$ veces la integral de $dz/(z-3)$ sobre cualquier curva que pasa una vez en sentido antihorario alrededor de $3$.