¿Cómo es el hamiltoniano un operador hermitiano?

Question

Mi libro sobre mecánica cuántica dice que el hamiltoniano, definido como $$H=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$ es un operador hermitiano. Pero no veo realmente cómo tengo que interpretar esto. En primer lugar: ¿desde qué espacio trabaja este operador? Están definiendo un espacio vectorial llamado "espacio de la función de onda $F$ " que contiene todas las funciones cuadradas-integrables que son continuas e infinitamente diferenciables (y definidas en todas partes). Pero me parece que si el hamiltoniano actúa sobre este espacio, no es necesariamente cierto que la imagen de un vector aleatorio de $F$ está de nuevo en $F$ .

De hecho, creo que hay algunos vectores de $F$ para que el hamiltoniano de esos vectores no sea un elemento de $F$ (para que no sea un endomorfismo en $F$ ). Y si el hamiltoniano tiene que ser hermitiano, tiene que ser un endomorfismo sobre algún espacio.

Si en su lugar definimos el espacio vectorial $V$ que es el mismo espacio que $F$ pero cuando las funciones no tienen que ser cuadradas-integrables, el hamiltoniano será un endomorfismo (así que al principio pensé que esta era la solución). Pero ahora el producto interior sobre las funciones $$<f,g> = \int_{-\infty}^\infty dx~{f^*g}$$ que se definió bien en $F$ porque la integral siempre existirá si $f$ y $g$ son función de $F$ ya no está bien definida.

Espero que alguien me aclare cómo tengo que interpetar este operador (la misma pregunta vale de hecho para algunos otros operadores).

Answer 1

La situación general es la siguiente. Existe un operador autoadjunto $H :D(H) \to \cal H$ con $D(H) \subset \cal H$ un subespacio lineal denso del espacio de Hilbert $\cal H$ . (Un caso elemental es ${\cal H} = L^2(\mathbb R, dx)$ pero lo que sigue es válido en general para todo espacio complejo de Hilbert $\cal H$ asociado a un sistema físico cuántico).

Resulta que $D(H) = \cal H$ si y sólo si $H$ está acotado (ocurre, en particular, cuando $\cal H$ es de dimensión finita).

Físicamente hablando $H$ está acotado si y sólo si los valores que alcanza el observable correspondiente (la energía del sistema) forman un conjunto acotado, por lo que difícilmente ocurre en casos físicos concretos. $D(H)$ es casi siempre un subconjunto adecuado de $\cal H$ .

Si $\psi \in \cal H$ representa un estado (puro) del sistema, su evolución temporal viene dada por $$\psi_t = e^{-i \frac{t}{\hbar} H}\psi \tag{1}\:.$$ La exponencial se define mediante el teorema espectral. El mapa $\mathbb R \ni t \mapsto e^{-i \frac{t}{\hbar} H}\psi$ es siempre continua refiriéndose a la topología de $\cal H$ . Además, también es diferenciable si y sólo si $\psi_t \in D(H)$ (equivale a decir que $\psi \in D(H)$ ). En este caso se demuestra que (teorema de Stone) $$\frac{d\psi_t}{dt} = -i \frac{1}{\hbar} H e^{-i \frac{t}{\hbar} H}\psi= -\frac{i}{\hbar} H\psi_t\:.$$ En otras palabras, $$i \hbar \frac{d\psi_t}{dt} = H\psi_t\:.\tag{2}$$ Debe quedar claro que $\frac{d}{dt}$ es no un operador en $\cal H$ como actúa en las curvas $\mathbb R \ni t \mapsto\psi_t$ en lugar de vectores. $$\frac{d\psi_t}{dt} = \lim_{s \to 0} \frac{1}{s} \left(\psi_{t+s}-\psi_t \right)$$ y el límite se calcula con respecto a la norma del espacio de Hilbert. La identidad (2) se cumple si y sólo si $\psi \in D(H)$ y no en general.

ADDENDUM .

Identidades o incluso definiciones (!) como $$H = i \hbar \frac{d}{dt}\:.\tag{3}$$ no tiene sentido. Un observable en QM es, en primer lugar, un operador (autoadjunto) en el espacio de Hilbert $\cal H$ de la teoría. En otras palabras, es un mapa lineal $A$ asociando cualquier vector dado $\psi \in \cal H$ (o algún dominio adecuado) a otro vector $A\psi$ . Si $\psi$ es un vector único dado de $\cal H$ - y no una curva $t \mapsto \psi_t$ - el objeto formal $$\frac{d}{dt}\psi$$ no tiene ningún significado, ya que no se puede calcular. Por lo tanto, preguntarse si $H$ , "definida" mediante (3), es hermitiana no tiene sentido a su vez, porque el RHS de (3) es no un operador en $\cal H$ .

Lo concreto definición de $H$ puede darse tan pronto como se conozca el sistema físico y aprovechando algunos principios físicos adicionales como alguna supuesta correspondencia entre los observables clásicos y los cuánticos, o suposiciones teóricas de grupo sobre las simetrías del sistema.

Para los sistemas elementales no relativistas descritos en $L^2(\mathbb R^3)$ el operador hamiltoniano tiene la forma de la extensión autoadjunta del operador simétrico (ojalá única) $$H := -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\vec{x})$$ Esta es la definición de $H$ .

Sin embargo, la ecuación de Schroedinger (2) es siempre válida, sin importar las características específicas del sistema cuántico (incluso relativista), cuando $\psi \in D(H)$ . Sin embargo, la evolución del tiempo se describe siempre por (1) independientemente de cualquier problema de dominio.

Answer 2

Puedes encontrar algunos ejemplos patológicos de por qué los operadores de la mecánica cuántica no son hermitianos, pero no son físicos. Esto es física, es inevitable que las matemáticas sean algo imprecisas. Puede que te interese leer esto para ver algunos problemas matemáticos interesantes/sorpresas con la formulación matemática de la mecánica cuántica: http://lanl.arxiv.org/pdf/quant-ph/9907069v2.pdf

Answer 3

Si el hamiltoniano es hermitiano, la función propia hace una base del espacio de la función integrable al cuadrado. Así que la acción de H sobre cualquier función permanece en el espacio de funciones integrables al cuadrado.

Answer 4

Como has dicho, la ecuación que das sólo funciona en el "espacio de la función de onda". Mientras trates con funciones de onda, siempre puedes descomponer el objeto sobre el que actúa tu derivada como $$\int \frac{\mathrm d\omega }{\sqrt{2\pi}} \tilde f(\omega) e^{i \omega t}$$ por lo que su derivada dibujará un factor de $i \omega$ de la exponencial. La forma general sigue siendo una superposición de ondas planas y, por tanto, sigue en $\mathbf F$ y el operador $i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$ es autoadjunto.