Mentira álgebra 3 Dimensiones con 2 Dimensiones derivados de álgebra de la mentira

Question

he leído en marca wildon libro , una introducción a las álgebras de lie, en la página 22 de decir que : Supongamos que dim $L$ = 3 y dim $L'$ = 2. Veremos que, en $\mathbb{C}$ al menos, hay infinitamente muchos que no son isomorfos tales Álgebras de Lie. Tomar una base de $L'$, decir $\{y,z\}$ y extender a una base de $L$, dicen por $x$. Para entender la Mentira de álgebra $L$, tenemos que entender la estructura de $L'$ como una Mentira álgebra en su propio derecho y la forma lineal de mapa de $ad x : L \rightarrow L$ actúa en $L'$.

Yo no entiendo esta parte "Para entender la Mentira de álgebra $L$, tenemos que entender la estructura de $L'$ como una Mentira álgebra en su propio derecho y la forma lineal de mapa de $ad x : L \rightarrow L$ actúa en $L'$."

Puede alguien explicar más acerca de esta parte, ¿cómo podemos entender Mentira álgebra $L$ lineal mapa de $ad x : L \rightarrow L$ actúa en $L'$? y para el caso en el libro, sólo en caso de $x \notin L'$ , ¿por qué no considerar la posibilidad de $x \in L'$?

Gracias por su amabilidad

tengo un problema ahora para probar la parte b del lema 3. $ad x : L' \rightarrow L'$. me pegué a mostrar $ad x : L' \rightarrow L$ es homomorphism. Cómo mostrar $ad x([y,z]) = [ad x(y), adx(z)]$ donde $y,z \in L'$.

Answer 1

Tenemos que $L=L'\oplus \langle x\rangle_k$ vectorspaces. Queremos entender $L$ como una Mentira álgebra, es decir, queremos saber $[\ell,m]$ (para todos los $\ell, m\in L$). Ahora escribo $\ell,m\in L$ $\ell=\ell'+\lambda x$ $\ell'\in L'$ $\lambda\in k$ y de manera similar a $m=m'+\mu x$. Entonces tenemos $\begin{align} [\ell,x]&=[\ell'+\lambda x,m'+\mu x]\\ &=[\ell',m']+\lambda[x,m']+\mu[\ell',x]+\lambda\mu[x,x] \end{align}$ Ahora entendemos $[\ell',m']$ si entendemos $L'$ como una Mentira álgebra. Tenemos $[x,m']=\operatorname{ad} x(m')$$[\ell',x]=-[x,\ell']=-\operatorname{ad}x(\ell')$$[x,x]=0$. Las dos últimas igualdades seguir a partir de anticommutativity. Por lo tanto entender $L$ como una Mentira álgebra, tenemos que saber cómo $L'$ es como una Mentira álgebra y cómo $\operatorname{ad}x$ actúa en $L'$.

Answer 2

Como un primer paso, muestran que $L^{\prime}$ es abelian. Entonces usted tiene $[y,z]=0$ y $[y, x]=a y+bz$, $[z,x]=cy+dz$. Así, usted tiene uno de esos Mentira algeba para cada clase conjugacy en $GL(2, \mathbb{C})$.