Demostrando $n \log n \subseteq O(n^{1+\epsilon})$ sin límites

Question

Cómo puede uno demostrar que $n \log n \subseteq O(n^{1+\epsilon})$ donde $0 < \epsilon < 1$ sin el uso de límites? Esta pregunta surge de una tarea donde me límites para demostrar la relación. Me gustaría saber si hay otra manera.

Answer 1

Deje $0<\epsilon<1$ ser fijo. Sólo necesitamos mostrar que $\log n=O(n^\epsilon)$. Supongamos $n\geq 1$, de modo que $\log n\geq 0$. Desde $$n^\epsilon=e^{\epsilon \log n}=1+\epsilon \log n+\frac{\epsilon^2 \log^2 n}{2}\cdots \geq \epsilon \log n$$ we see that $$\log n \leq \frac{1}{\epsilon}n^\epsilon$$ lo que demuestra el resultado deseado.