El preorden de los tipos de orden contables

Question

Consideremos el conjunto $\mathcal{O}$ de tipos de pedido correspondiente a todos los posets de cardinalidad máxima $\aleph_0$ . El conjunto $\mathcal{O}$ es un pedido anticipado bajo incrustabilidad de sus elementos (nótese que algunos tipos de orden son mutuamente incrustables, por ejemplo, los tipos de orden de un intervalo abierto y cerrado en $\mathbb{Q}$ ). Transformar el preorden $\mathcal{O}$ al poset $\bar{\mathcal{O}}$ agrupando sus elementos en clases de equivalencia bajo incrustación mutua.

• ¿Es la estructura de $\bar{\mathcal{O}}$ ¿se entiende bien?
• Cuáles son la cardinalidad y la altura (el menor ordinal no incrustable en un poset) de $\bar{\mathcal{O}}$ ?
• ¿Cuáles son las cardinalidades de las cadenas y anticadenas máximas en $\bar{\mathcal{O}}$ ?

Answer 1

En Teoría de las relaciones de Roland Fraïssé, apartado 5.11, p. 164 (véase ici ), si no me equivoco, se demuestra lo siguiente. El conjunto $\mathcal{P}$ de subconjuntos infinitos de $\omega$ cuasi-ordenados por inclusión módulo finito, es decir $A\subseteq_\text{fin}B$ si $A\setminus B$ es finito, (o su cociente de orden parcial) se incrusta en $\mathcal{O}$ la clase de órdenes parciales contables con incrustación.

La idea se debe a K. Kunen y A. Miller y se basa en los órdenes parciales finitos $C_n$ llamadas "coronas", véase mi otro Correo electrónico: . Para que conste, las coronas $C_n$ forman una anticadena infinita de órdenes parciales finitos.

Primero para cada subconjunto infinito $A$ de $\omega$ , dejemos que $P_A$ sea el orden parcial obtenido sumando a la unión disjunta de las coronas $C_n$ para $n\in A$ un elemento mínimo. Obsérvese que $P_A$ incrusta en $P_B$ si $A\subseteq B$ .

Entonces para una clase de equivalencia (contable) $\mathcal{A}$ para la relación de equivalencia módulo finito, definimos el orden parcial $P_\mathcal{A}$ como la unión disjunta de los $P_A$ 's para $A\in\mathcal{A}$ .

Entonces $\mathcal{A}\mapsto P_\mathcal{A}$ es efectivamente una incrustación.

Evidentemente, si $P_\mathcal{A}$ incrusta en $P_\mathcal{B}$ entonces para todo $A\in\mathcal{A}$ existe $B\in\mathcal{B}$ con $A\subseteq B$ y así $\mathcal{A}\subseteq_\text{fin} \mathcal{B}$ .

A la inversa, basta con observar que si $\mathcal{A}\subset_\text{fin}\mathcal{B}$ entonces existe un mapa inyectivo $i:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ con $A\subseteq i(A)$ para todos $A\in\mathcal{A}$ . Para ver esta corrección $A\in \mathcal{A}$ y elija $B\in\mathcal{B}$ con $A\subseteq B$ . Desde $\mathcal{A}\subset_\text{fin}\mathcal{B}$ , $B\setminus A$ es infinito y por tanto podemos asignar a cada par $(F,G)$ de subconjuntos finitos de $\omega$ un número $n_{(F,G)}\in B\setminus A$ con $n_{(F,G)}>\max G$ de manera unívoca. Entonces, para cada $A'\in\mathcal{A}$ existe un par único $(F,G)$ de subconjuntos finitos de $\omega$ con $F\subseteq A$ , $G\cap A=\emptyset$ y $A'=G\cup( A\setminus F)$ y dejamos que $i(A')=G\cup B\setminus\{n_{(F,G)}\}$ .

Finalmente por el teorema de Parovicenko, todo orden parcial de tamaño $\aleph_1$ incrusta en $\mathcal{P}$ y, por tanto, en $\mathcal{O}$ .

Answer 2

Advertencia: Este anwer deben ser tratados con precaución. Para más información, ver los comentarios.

Como un parcial anwer considerar el conjunto $\mathcal L$ de los tipos de orden lineal de los pedidos. A continuación, $\bar{\mathcal L}$ está limitada por la clase de $\mathbb Q$ en la parte superior y por la cadena de la finita de intervalos en la parte inferior. Entre ellos se tienen como estructura arbitraria stackings de hasta contable infinitamente muchas copias de $\omega$${}^*\omega$. Todos ellos son diferentes. Eso significa que $\mathcal L$ tiene cardinalidad de, al menos,$2^{\aleph_0}$.

Que la estimación puede ser muestra de la siguiente manera. Deje $(M,≤)$ ser una contables linealmente conjunto ordenado. Entonces podemos definir una relación de equivalencia $≈$ tal que dos elementos de la $a,b∈M$ son equivalentes si el fin de intervalo entre ellos es finito. Esto proporciona una partición de $M$ en una manera que los elementos están en diferentes clases si están separados por un intervalo infinito. Ahora podemos asignar un número a cada una de sus clases de equivalencia: $$φ([x]) = \begin{cases}-1, \text{ iff $[x]$ tiene un elemento maximal,}\\ 0,\text{ ffi $[x]$ no tiene ni un máximo ni un mínimo elemento, und}\\ 1,\text{ ffi $[x]$ tiene un mínimo elemento.} \end{casos}$$

El resultado es una secuencia de caracteres en el que $1$ no puede seguir directamente después de $-1$ Una clase de $[x]$ puede ser embebido en una clase de $[y]$ fib bien $φ([x]) = φ([y])$ o $φ([y])=0$. Eso significa que $[x]$ $[y]$ pertenecen a la misma clase de $\bar{\mathcal L}$ fib que se obtiene el mismo número asignado. Eso significa que los dos órdenes son equvalent iff su $≈$-clases de generar el mismo número de secuencias. Por otro lado, el contable de la unión de conjuntos contables también es contable. Para cada uno de los contables de la secuencia de números que no contiene un número $1$ directamente siguientes $-1$ tenemos un diferente orden lineal. Hay, al menos, $2^{\aleph_0}$ dichas secuencias (considerar sólo$0$$1$) y en la mayoría de las $3^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$.

Para el caso general, saben que un contable tiene en la mayoría de las $|\mathfrak{P}(\mathbb N\times\mathbb N)| = |\mathfrak{P}(\mathbb N)| =2^{\aleph_0}$ relaciones binarias. Así que hemos encontrado la cardinalidad.

Si dos nonisomorphic los pedidos se ofrece la posibilidad de integrar en cada uno de los otros, entonces podemos cadena de las incrustaciones y obtener un endomorfismo forma que cada uno de los conjuntos ordenados en un subconjunto de sí mismo. Eso significa que usted no tiene que considerar finito de conjuntos ordenados demasiado difícil: todos Ellos son diferentes en $\bar{\mathcal O}$.

Si la incrustación no implica isomorfo la incorporación, a continuación, los racionales $\mathbb Q$ formulario de la parte superior del elemento de $\bar{\mathcal O}$ ya que cada orden es la intersección de los lineales de los pedidos.