Quiero calcular la inversa de una matriz de la siguiente forma: \begin{bmatrix} 1 &\rho &\rho^2 &\cdots &\rho^{n-1}\\ \rho& 1& \rho& \cdots &\rho^{n-2}\\ \rho^2& \rho& 1 &\cdots&\rho^{n-3}\\ \vdots&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ \rho^{n-1} & \rho^{n-2}&\rho^{n-3} &\cdots&1 \end{bmatrix} cada línea de la diagonal de salida es un polinomio de $\rho$ y la exponencial es creciente hacia el límite. Me pregunto cómo resolver este problema... Gracias de antemano por su respuesta.
Respuesta
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Su matriz $\bf A$ (digamos) tiene el típico elemento de la forma $a_{ij}=\rho^{|i-j|}$ .
De hecho, se trata de una forma matricial conocida llamada Matriz Kac-Murdock-Air .
Dejemos que $D_n=\det \bf A$ entonces se ve fácilmente que satisface la relación $D_n=(1-\rho^2)D_{n-1}\quad, n\ge2$ aplicando la operación $R_i'=R_i-\rho R_{i+1}\quad,i=1,2,...,n-1$ en $\bf A$ .
Como la matriz se transforma a una forma triangular inferior, se deduce que $\det \mathbf A=(1-\rho^2)^{n-1}$ .
Así que $\bf A$ es invertible si $\rho\ne \pm1$ $\quad(\bf A$ es positiva definida cuando $-1<\rho<1)$ .
Ahora bien, como se muestra en este respuesta, cuando $\bf A$ es definida positiva, se puede descomponer como $\bf BB^\top$ donde
$\bf B=\begin{bmatrix} 1 &0 & 0& \dots&0\\\rho & \sqrt{1-\rho^2} &0 &\dots &0\\\rho^2 & \rho\sqrt{1-\rho^2} & \sqrt{1-\rho^2} &\dots &0\\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\\rho^{n-1} &\rho^{n-2}\sqrt{1-\rho^2} & \rho^{n-3}\sqrt{1-\rho^2} & \dots &\sqrt{1-\rho^2} \end{bmatrix}$
En ese caso tienes $\mathbf A^{-1}=(\mathbf B^{-1})^\top\mathbf B^{-1}$
$=\dfrac{1}{1-\rho^2}\begin{bmatrix} 1 &-\rho &0 &\dots &0\\-\rho & 1+\rho^2 &-\rho &\dots &0\\\ & \ddots & \ddots &\ddots &\\0 & \dots &-\rho & 1+\rho^2 &-\rho\\0 & \dots &0 &-\rho & 1\end{bmatrix}$
Consulte este para obtener más información sobre estas matrices.
