Prueba de identidad trigonométrica $\frac{\cos x+i\sin x+1}{\cos x+i\sin x-1}= -\frac{i}{\tan \frac{x}{2}}$

Question

Me dieron una tarea de demostrar la siguiente identidad:

$$\frac{\cos x+i\sin x+1}{\cos x+i\sin x-1}= -\frac{i}{\tan \frac{x}{2}}$$

Yo no estoy en busca de una solución, sólo algún tipo de ayuda para empezar. Gracias.

Answer 1

SUGERENCIA:

Uso de la identidad

$$\cos x +i\sin x=e^{ix}$$

y se multiplican el numerador y el denominador por $e^{-ix/2}$. Por otra parte, usted necesita

$$\cos x=\frac12 (e^{ix}+e^{-ix})\\ \sen x=\frac{1}{2} e^{ix}-e^{-ix})$$

Answer 2

Sugerencia: escribir todo en forma exponencial.

Ahora, las siguientes identidades son útiles:

• $e^{ix} \equiv \cos(x)=i\sin(x)$
• $\tan(\frac{x}{2}) \equiv \frac{i\left[e^{-i\left(\frac{x}{2}\right)}-e^{i\left(\frac{x}{2} \right)}\right]}{e^{i\left( \frac{x}{2}\right)}+e^{-i\left(\frac{x}{2} \right)}}$

Answer 3

$$e^{ix} = cos(x) + isin(x)$$

Donde $i$ es la constante imaginario.

Ahora, vaya a derivar fórmulas para el pecado(x), cos(x) y, además, el uso de las fórmulas para derivar una expresión para tan(x) igual a lo que tiene encima y ver si usted puede conseguir 0 = 0 o algo así que después de la simplificación

Answer 4

Observar que $$(\cos y+i\sin y)(\cos y+i\sin y)=\cdots=\cos2y+i\sin2y$$

y $$(\cos y+i\sin y)(\cos y-i\sin y)=\cdots=1$$

$$\implies\frac{\cos y+i\sin y}{\cos y-i\sin y}=\cos2y+i\sin2y$$

$$\implies\frac{\cos2y+i\sin2y}1=\frac{\cos y+i\sin y}{\cos y-i\sin y}$$

Dividiendo el numerador y el denominador del Lado Derecho por $i\cos y$ $$\frac{\cos2y+i\sin2y}1=\frac{-i+\tan y}{-i-\tan y}$$

Aplicar Componendo y de la fundación " dividendo