Mimimum de $\frac ab+\frac bc+\frac ca+\frac{28(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}$

Question

Deje $a,b,c\in\mathbb R^+$. Encontrar el valor mínimo de $$\frac ab+\frac bc+\frac ca+\frac{28(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}$$

Answer 1

Vamos a demostrar que para todos los positivos $a$, $b$ y $c$ la siguiente desigualdad se cumple. $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{28(ab+ac+bc)}{(a+b+c)^2}\geq12,$$ donde la igualdad se produce por $$a:b:c=\frac{1}{\sin^{2}{\frac{\pi}{7}}}:\frac{1}{\sin^{2}{\frac{2\pi}{7}}}:\frac{1}{\sin^{2}{\frac{3\pi}{7}}}.$$ De hecho, vamos a $a+b+c=3u$, $ab+ac+bc=3v^2$, $abc=w^3$ y $u^2=tv^2$.

Por lo tanto, $t\geq1$ y probar el resto por ti mismo. Yo estoy siempre aquí para ayudarle.

Que también he encontrado la siguiente solución: $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{28(ab+ac+bc)}{(a+b+c)^2}-12=\frac{\sum\limits_{cyc}c(a^2-3ab-ac+2bc)^2}{abc(a+b+c)^2}\geq0.$$ También hay una muy buena solución por AM-GM.

Answer 2

Sugerencia.

Considere la posibilidad de $\sum \frac {a}{b}$ $$\sum \frac {a}{b}=\sum \frac {a^2}{ab}$$ Por Titu del lema $$\sum \frac {a^2}{ab}\ge \frac {\big(\sum a\big)^2}{\sum ab}$$

Aplicar ahora SOY GM en la expresión .