Muestra de cierre en el $\|\cdot\|_1$ norma

Question

Deje $X=C[0,1]$$W=\{f\in X\mid f(0)=0\}$. ¿Qué es el cierre de $W$ respecto de la 1-norma $\|\cdot\|_1$.

Mi solución es la siguiente:

El cierre es de todo el espacio $X$. Para ver esto de tomar cualquier función de $f(x)\in X$, asumir con pérdida de generalidad que $f$ está en la parte superior derecha del plano. Vamos a construir una secuencia que converge a esta $f(x)$.

Considerar la secuencia de $f_\epsilon(x)= \begin{cases} f(x), & \text{if }x\in [0,1]-(0,\epsilon), \\ \frac{f(\epsilon)}{\epsilon}x, & \text{if }x\in(0,\epsilon). \end{casos}$

Luego, si nos vamos a $\epsilon\rightarrow 0$ $f_{\epsilon}\rightarrow f$ y así tenemos que el límite de puntos son la totalidad de $X$.

Es esto correcto?

Gracias por la ayuda

Answer 1

Sí. Perfecto.

Como el cobre.sombrero también se menciona, quizás $\epsilon=1/n$ es más fácil de argumentar, y tal vez una frase más acerca de por qué la $f_\epsilon\to f$ $L_1$- norma, pero eso es todo.