Demostrar que $A \subseteq B$ sólo si $A \cap \overline{B}=\emptyset.$

Question

Demostrar que $A \subseteq B$ sólo si $A \cap \overline{B}=\emptyset.$

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Prueba:

Desde $A \cap \overline{B}$ implica que $x \in A$ pero $x \notin B$ mientras que $A \subseteq B$ implica que $x \in A$ y $x \in B$ tenemos una contradicción, ya que $x \in B$ y $x \notin B$ . Así, $A \cap \overline{B}=\emptyset.$

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¿Es suficiente? ¿De qué otra forma puede demostrarse?

Answer 1

Prueba la inclusión mutua de subconjuntos.

( $\to$ ): Supongamos que $x\in A\subseteq B$ . Entonces $x\in A\to x\in B$ Eso es, $x\not\in A\lor x\in B$ . La negación de esto es $x\in A\land x\not\in B$ Eso es, $x\not\in A\cap \overline{B}$ .

La otra dirección es trivial, ya que se trata del conjunto vacío.

Answer 2

Tienes que demostrar una afirmación "si y sólo si". Cuando tenga que demostrar " $p$ sólo si $q$ ", siempre significa que tienes que demostrar dos afirmaciones. Tiene que demostrar que $p \implies q$ y $q \implies p$ (donde $p$ es la declaración $A \subseteq B$ y $q$ es la declaración $A \cap \overline{B} = \emptyset$ ).

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Probemos $p \implies q$ primero. Para demostrar $p \implies q$ tenemos que suponer $p$ es verdadera, y demostrar $q$ es cierto. Así que tenemos que asumir $A \subseteq B$ . Probemos $A \cap \overline{B} = \emptyset$ . Parece que la forma más fácil de demostrarlo es por contradicción. Supongamos que $A \cap \overline{B} \neq \emptyset$ . Entonces hay $x \in A \cap \overline{B}$ . Eso significa que hay $x$ tal que $x \in A$ y $x \not \in B$ . Pero asumimos $A \subseteq B$ lo que significa para todos $y \in A$ , $y \in B$ . Pero acabamos de encontrar un elemento $x$ en $A$ que no está en $B$ . Así que tenemos un elemento que es a la vez en $B$ y no en $B$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $A \cap \overline{B} = \emptyset$ según se desee.

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Ahora demostremos la $q \implies p$ dirección. Tenemos que asumir $q$ y demostrar $p$ . Supongamos que $q$ es cierto, es decir, $A \cap \overline{B} = \emptyset$ . Probemos $A \subseteq B$ . Para demostrar esto, necesitamos mostrar si $x \in A$ entonces $x \in B$ . Sea $x \in A$ . Sabemos que $A \cap \overline{B} = \emptyset$ lo que significa que si $x \in A$ , $x$ no puede estar en $\overline{B}$ . Pero los elementos están en $B$ o $\overline{B}$ ya que estos dos conjuntos son complementarios. Es decir $x \in B$ que es lo que queríamos mostrar. Así que $A \subseteq B$ según se desee.

Answer 3

En primer lugar $A\subset B \Longrightarrow\overline{B}\subset \overline{A}\Longrightarrow A\cap \overline{B}\subset A\cap\overline{A}=\emptyset$ y por lo tanto $A\cap \overline{B}=\emptyset$ . A la inversa, $A\cap \overline{B}=\emptyset$ implica $A=A\cap(B\cup \overline{B})=(A\cap B)\cup(A\cap\overline{B})=A\cap B \Longrightarrow A\subset B$ .

Answer 4

$(\Rightarrow)$ Supongamos $A\subseteq B$ . Entonces $\forall x\in A,x\in B$ . Por lo tanto $\forall x\in A,x\notin B^c$ . Así que $A\cap B^{c}=\varnothing$ .

$(\Leftarrow)$ A la inversa, supongamos $A\cap B^{c}=\varnothing$ . Por lo tanto $\forall x\in A,x\notin B^{c}$ . Por lo tanto $\forall x\in A,x\in B$ . Así que tenemos que $A\subseteq B$ .

Aquí utilizo $B^c$ para su $\overline{B}$ :)

Answer 5

Si $A\subseteq B$ entonces $x\in A \implies x \in B$ y si $x\in B$ entonces $x\not\in B^c$ . Así que no $x$ estar en $A$ y $B^c$ al mismo tiempo, por lo que $A\cap B^c=\emptyset$ .

Si $A\cap B^c=\emptyset$ tenemos $B\cup B^c=\omega$ donde $\omega$ representa todo el espacio. Si $x\in A, x\not\in B^c$ y así $x\in B$ . Por lo tanto $A\subseteq B$ .