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Demostrar que AB sólo si A¯B=.

Demostrar que AB sólo si A¯B=.


Prueba:

Desde A¯B implica que xA pero xB mientras que AB implica que xA y xB tenemos una contradicción, ya que xB y xB . Así, A¯B=.


¿Es suficiente? ¿De qué otra forma puede demostrarse?

5voto

Daniel W. Farlow Puntos 13470

Prueba la inclusión mutua de subconjuntos.

( ): Supongamos que xAB . Entonces xAxB Eso es, xAxB . La negación de esto es xAxB Eso es, xA¯B .

La otra dirección es trivial, ya que se trata del conjunto vacío.

3voto

user46944 Puntos 10179

Tienes que demostrar una afirmación "si y sólo si". Cuando tenga que demostrar " p sólo si q ", siempre significa que tienes que demostrar dos afirmaciones. Tiene que demostrar que pq y qp (donde p es la declaración AB y q es la declaración A¯B= ).


Probemos pq primero. Para demostrar pq tenemos que suponer p es verdadera, y demostrar q es cierto. Así que tenemos que asumir AB . Probemos A¯B= . Parece que la forma más fácil de demostrarlo es por contradicción. Supongamos que A¯B . Entonces hay xA¯B . Eso significa que hay x tal que xA y xB . Pero asumimos AB lo que significa para todos yA , yB . Pero acabamos de encontrar un elemento x en A que no está en B . Así que tenemos un elemento que es a la vez en B y no en B lo cual es una contradicción. Por lo tanto, A¯B= según se desee.


Ahora demostremos la qp dirección. Tenemos que asumir q y demostrar p . Supongamos que q es cierto, es decir, A¯B= . Probemos AB . Para demostrar esto, necesitamos mostrar si xA entonces xB . Sea xA . Sabemos que A¯B= lo que significa que si xA , x no puede estar en ¯B . Pero los elementos están en B o ¯B ya que estos dos conjuntos son complementarios. Es decir xB que es lo que queríamos mostrar. Así que AB según se desee.

2voto

schooner Puntos 1602

En primer lugar AB¯B¯AA¯BA¯A= y por lo tanto A¯B= . A la inversa, A¯B= implica A=A(B¯B)=(AB)(A¯B)=ABAB .

0voto

ASB Puntos 3725

() Supongamos AB . Entonces xA,xB . Por lo tanto xA,xBc . Así que ABc= .

() A la inversa, supongamos ABc= . Por lo tanto xA,xBc . Por lo tanto xA,xB . Así que tenemos que AB .

Aquí utilizo Bc para su ¯B :)

0voto

Jon Mark Perry Puntos 4480

Si AB entonces xAxB y si xB entonces xBc . Así que no x estar en A y Bc al mismo tiempo, por lo que ABc= .

Si ABc= tenemos BBc=ω donde ω representa todo el espacio. Si xA,xBc y así xB . Por lo tanto AB .

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