Demostrar que A⊆B sólo si A∩¯B=∅.
Prueba:
Desde A∩¯B implica que x∈A pero x∉B mientras que A⊆B implica que x∈A y x∈B tenemos una contradicción, ya que x∈B y x∉B . Así, A∩¯B=∅.
¿Es suficiente? ¿De qué otra forma puede demostrarse?
Demostrar que A⊆B sólo si A∩¯B=∅.
Prueba:
Desde A∩¯B implica que x∈A pero x∉B mientras que A⊆B implica que x∈A y x∈B tenemos una contradicción, ya que x∈B y x∉B . Así, A∩¯B=∅.
¿Es suficiente? ¿De qué otra forma puede demostrarse?
Tienes que demostrar una afirmación "si y sólo si". Cuando tenga que demostrar " p sólo si q ", siempre significa que tienes que demostrar dos afirmaciones. Tiene que demostrar que p⟹q y q⟹p (donde p es la declaración A⊆B y q es la declaración A∩¯B=∅ ).
Probemos p⟹q primero. Para demostrar p⟹q tenemos que suponer p es verdadera, y demostrar q es cierto. Así que tenemos que asumir A⊆B . Probemos A∩¯B=∅ . Parece que la forma más fácil de demostrarlo es por contradicción. Supongamos que A∩¯B≠∅ . Entonces hay x∈A∩¯B . Eso significa que hay x tal que x∈A y x∉B . Pero asumimos A⊆B lo que significa para todos y∈A , y∈B . Pero acabamos de encontrar un elemento x en A que no está en B . Así que tenemos un elemento que es a la vez en B y no en B lo cual es una contradicción. Por lo tanto, A∩¯B=∅ según se desee.
Ahora demostremos la q⟹p dirección. Tenemos que asumir q y demostrar p . Supongamos que q es cierto, es decir, A∩¯B=∅ . Probemos A⊆B . Para demostrar esto, necesitamos mostrar si x∈A entonces x∈B . Sea x∈A . Sabemos que A∩¯B=∅ lo que significa que si x∈A , x no puede estar en ¯B . Pero los elementos están en B o ¯B ya que estos dos conjuntos son complementarios. Es decir x∈B que es lo que queríamos mostrar. Así que A⊆B según se desee.
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