Es el semigroup generado por wellordered positivo wellordered?

Question

Deje $(A,\leq)$ ser totalmente ordenado abelian grupo, y $\Gamma\subseteq A$ ser un conjunto de elementos no negativos, de tal manera que es wellordered por $\leq$. Es cierto entonces que la semigroup $S$ generado por $\Gamma$ es de nuevo wellordered?

Pensamientos hasta el momento:

• La positividad hipótesis es obviamente necesario, porque para cualquier negativa $a\in A$, $n\cdot a$ es un infinito disminución de la secuencia.
• Me puede mostrar que para un wellordered $\Gamma$, también es cierto que $\Gamma+\Gamma$ es wellordered, que se extiende fácilmente a los conjuntos de $\Gamma_n:=\Gamma+\Gamma+\ldots+\Gamma$ ($\Gamma$ se agrega $n$ a veces).
• Suponemos que $0\in \Gamma$, por lo que el $\Gamma_n\subseteq \Gamma_{n+1}$.
• Para mostrar que $S$ es wellordered, tenemos que mostrar que cualquier $B\subseteq S$ tiene un elemento más pequeño; podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\Gamma\cap B$ es no vacío (que se extiende a $\Gamma$ algunos $\Gamma_n$ si es necesario).
• Con los supuestos anteriores, la existencia de un mínimo elemento de $B$ es equivalente a la afirmación de que la secuencia de $b_n:=\min (\Gamma_n\cap B)$ estabiliza.

La motivación de la pregunta es para mostrar que el anillo de Hahn serie $K((X^A))$ ($K$ campo) es un campo, pero incluso si hay una manera más sencilla de mostrar, estoy curioso acerca de la pregunta por su propia cuenta.

Los pensamientos? Sugerencias?

Answer 1

Deje $(A,\le)$ ser totalmente ordenado abelian grupo.

Lema. Si $X,Y$ son dos wellordered subconjuntos de a$A$, $X+Y$ es wellordered.

Prueba. Deje $B$ ser un subconjunto no vacío de a $X+Y$ y asumir que no tiene mínimo. Para $b\in B$ deje $$x_b=\min\{x\in X\mid \exists y\in Y\colon x+y\in B, x+y<b\}$$ $$y_b=\min\{y\in Y\mid x_b+y\in B\}$$ and $s(b)=x_b+y_b$. A continuación,$s(b)<b$. Esto implica $x_{s(b)}\ge x_b$, por lo tanto $y_{s(b)}<y_b$

Si $b\in B$ es arbitrario, esto produce una infinita secuencia descendente $y_b>y_{s(b)}>y_{s(s(b))}>\ldots $ en $Y$, lo cual es imposible. Por lo tanto, $B$ debe tener un mínimo elemento.$_\blacksquare$

Teorema. Si $\Gamma$ positivo wellordered subconjunto de $A$, $\langle\Gamma\rangle$ es bien ordenado.

Como wellordered conjunto, $\Gamma$ es de orden-isomorphis a algunos ordinal $\alpha$. Procedemos por inducción sobre $\alpha$, que es: Podemos suponer que la $\langle\Gamma'\rangle$ es wellordered para todos los $\Gamma'$ de la forma $\Gamma'=\{g\in \Gamma\mid g<\gamma\}$ algunos $\gamma\in\Gamma$.

Deje $B\subset\langle\Gamma\rangle$ ser un conjunto no vacío y deje $b\in B$ ser uno de sus elementos. Si $b=0$, es claramente un mínimo en el no negativo set $\langle \Gamma\rangle$. Si $b\ne 0$, escribir $$b=g_1+\cdots +g_n$$ con $n\in \mathbb N$, $g_i\in \Gamma$ y deje $\gamma=\max\{g_1,\ldots,g_n\}$. A continuación,$b\le n\gamma$. Considere la posibilidad de $b'\in B$ $b'\le b$ y escribir $$b'=g'_1+\cdots +g'_m$$ con $m\in \mathbb N$, $g'_i\in \Gamma$. En la mayoría de los $n$ de la $g'_i$$\ge \gamma$. Todos los otros sumandos son en $\Gamma'=\{g\in \Gamma\mid g<\gamma\}$. Por hipótesis de inducción, $\langle\Gamma'\rangle$ es wellordered. Por el lema, $$T:=\underbrace{(\Gamma\cup\{0\})+\cdots+(\Gamma\cup\{0\})}_n+\langle\Gamma'\rangle$$ es wellordered. Acabamos de ver que $\{b'\in B\mid b'\le b\}\subseteq B\cap T$, por lo tanto $$\min B =\min(T\cap B).$$ $_\blacksquare$