Notación Del Álgebra Abstracta

Question

En la página 236 de Falko Lorenz "Álgebra Volumen 1: los Campos y la Teoría de Galois", ejercicio 4.2(c), el autor pide

$\\$ Deje $R$ ser una única factorización de dominio. Si $P$ es un directorio de números primos de $R$ $K =$ Frac $R$, el grupo multiplicativo de K satisface $K^x \cong R^x \times\mathbb{Z}^{(P)}$.

¿Qué es $\mathbb{Z}^{(P)}$?

Answer 1

Parece que su sugiriendo que la suma directa de copias de $\mathbb{Z}$ indexados por el directorio de números primos.

Construir el mapa de este modo. Deje $k$ ser distinto de cero en $K$. Escribir $k$$a/b$$gcd(a,b)=1$. Únicamente factorizar $a$ $b$ y recuperar los números naturales que son las potencias de los números primos en su factorizations. Puede que necesite utilizar unidades $a$ $b$ a completar la factorización.

Combinar las unidades en $u$. Para cada uno de los prime $p$ que aparece en la factorización prima de $a$$b$, se obtiene un resultado neto de la potencia que aparece en la posición. La cosa que usted mapa de $k$ a es$u$, seguido por el número entero de potencias de números primos en su expresión.

Así, por ejemplo, supongamos $a=vp^2q$$b=wpq^3$. A continuación,$\frac{a}{b}=\frac{vp^2q}{wpq^3}=up^1q^{-2}$.

donde $\frac{v}{w}=u$. Suponiendo que $p$ $q$ fueron los dos primeros números primos en el directorio, en ese orden, se asignaría $a/b$$(u,1,-2,0,0,\dots)$.

Con un poco de paciencia se puede mostrar esto es multiplicativo y conserva la recíproca, y es bijective, por lo tanto, usted tiene un grupo de isomorfismo.

Answer 2

$\mathbb Z^{(P)}$ denota el conjunto de mapas de $f\colon P\to\mathbb Z$ tal que $f(p)=0$ en casi todas las $p\in P$ ($f(p)\ne 0$en la mayoría de un número finito de $p$).

Este es un subconjunto estricto si $\mathbb Z^P$, el conjunto de todos los mapas de $P\to\mathbb Z$.