¿Es la norma $C^1[a,b]$ $\left \| f \right \|_1=(\int_{a}^{b}\left | f(t) \right |dt)+(\int_{a}^{b}\left | f´(t) \right |dt)$ un espacio completo?

Question

Es $C^1[a,b]$ con la norma $\left \| f \right \|_1=(\int_{a}^{b}\left | f(t) \right |dt)+(\int_{a}^{b}\left | f´(t) \right |dt)$ un completo espacio?

Pensé que con las parábolas basado en este enlace , pero la zona es infinito $C([0, 1])$ no es completa con respecto a la norma $\lVert f\rVert _1 = \int_0^1 \lvert f (x) \rvert \,dx$.

Gracias.

Answer 1

Para evitar abusando de la notación, vamos a $\|\cdot \|_1$ representan el habitual $L^1$ norma y $\|f\|_* = \|f\|_1 + \|f'\|_1$.

Considere la posibilidad de $C^1[-1,1]$ con la anterior norma, y deje $g_n(x) = {2 \over \pi}\arctan nx$. Tenga en cuenta que el $g_n$ son lisas, impar, estrictamente monótona el aumento de, $g_n(0) = 0$, $|g_n(x) \le 1$ para cualquier $x$ y si $x \neq 0$, $\lim_n g_n(x) = \mathbb{sgn} \ x$. La discontinuidad de la función de límite de en $x=0$ es el elemento fundamental aquí.

Si $\epsilon>0$, $m \le n$ y $x \ge \epsilon $, luego $|g_n(x)-g_m(x)| \le |1-g_m(x)| \le |1-g_m(x)| \le |1-g_m(\epsilon)|$. Entonces $\|g_n-g_m\|_1 = 2\int_0^1 |g_n(x)-g_m(x)| dx \le 2 \epsilon + 2 |1-g_m(\epsilon)|$, y por lo $g_n$ son de Cauchy en el $\| \cdot \|_1$ norma.

Definir $f_n(x) = \int_0^x g_n(t)dt$, y tenga en cuenta que $f_n' = g_n$. Tenga en cuenta que el $f_n$ son suaves, incluso y, por tanto,$f_n'(0) = 0$. No es difícil de demostrar, pero irrelevante para esta prueba, que $\lim_n f_n(x) = |x|$.

Tenga en cuenta que $|f_n(x)-f_m(x) | \le \int_{-1}^1 |g_n(x) - g_m(x)| dx = \|g_n-g_m\|_1$, por lo tanto $\|f_n-f_m\|_1 \le 2 \|g_n-g_m\|_1$, por lo que, para cualquier $ \epsilon>0$, tenemos $\|f_n-f_m\|_* \le 3 (2 \epsilon + 2 |1-g_m(\epsilon)|) $ a partir de que se desprende que $f_n$ son de Cauchy.

A continuación, $f_n$ es de Cauchy, pero no tiene límite en a $C^1[-1,1]$. A muy grandes rasgos, no tiene límite con respecto a $\|\cdot \|_*$ porque la única función continua a que el $f_n$ pueden converger es $x \mapsto |x|$ y esto no puede ser diferenciable, digamos continuamente diferenciable, en $x=0$.

Para mostrar que no hay ningún límite en $C^1[-1,1]$, suponemos $\|f_n -f\|_* \to 0$ con $f \in C^1[-1,1]$ busca una contradicción.

En primer lugar, tenga en cuenta que $f$ debe ser, incluso, desde la $ f_n$. Para ver esto, deje $\phi(x) = f(-x)$ y tenga en cuenta que $\|f-\phi\|_1 \le \|f-f_n\|_1 + \|f_n-\phi\|_1 = 2 \|f-f_n\|_1$, y desde $n$ es arbitrario, tenemos $\|f-\phi\|_1 = 0$. Desde $f, \phi$ son continuas, tenemos $f= \phi$ y por lo $f$ es incluso.

Desde $f$ es incluso, hemos $f'(0) = 0$. Hay algunos $\delta>0$ que si $|x| < \delta$, luego $|f'(x)| < {1 \over 2}$. Sin embargo, $f_n'({\delta \over 2})=g_n({\delta \over 2}) \to 1$, que es una contradicción.

Answer 2

Por el bien de la mejor notación, vamos a usar $\Vert\cdot\Vert_1$ lugar para denotar la norma $$\Vert f\Vert_1=\int_a^b|f(t)|dt$$ en $C^0[a,b]$, e $\Vert\cdot\Vert_{1,1}$ lugar para indicar la norma que usted está considerando: $$\Vert f\Vert_{1,1}=\Vert f\Vert_1+\Vert f'\Vert_1.$$

Tome $f_n$ como en el enlace que nos ha facilitado, y establecer $F_n(t)=\int_a^t f_n(s)ds$. Tenga en cuenta que \begin{align*} \Vert F_n-F_m\Vert_1\leq\int_a^b\int_a^t|f_n(s)-f_m(s)|dsdt=\int_a^b\int_s^b|f_n(s)-f_m(s)|dtds \end{align*} por Fubini, y, a continuación, $$\Vert F_n-F_m\Vert_1\leq\int_a^b(b-s)|f_n(s)-f_m(s)|ds\leq(b-a)\Vert f_n-f_m\Vert_1$$ por lo $\Vert F_n-F_m\Vert_{1,1}\leq (1+b-a)\Vert f_n-f_m\Vert_1$, lo $(F_n)$ es de Cauchy en $(C^1[a,b],\Vert\cdot\Vert_{1,1})$.

Pero la derivada de mapa de $D:(C^1[a,b],\Vert\cdot\Vert_{1,1})\to(C^0[a,b],\Vert\cdot\Vert_1)$ es continua, y $D(F_n)=f_n$ no converge, por lo $F_n$ no converge así.

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EDIT: Vamos a explicar la aplicación de Fubini, con algunos detalles más. La habitual versión de Fubini es que $\int_a^b\int_c^df(s,t)dsdt=\int_c^d\int_a^bf(s,t)dtds$.

Ahora supongamos que tenemos una integral de la forma $\int_a^b\int_a^tf(s,t)dsdt$ donde $f:[a,b]\times[a,b]\to\mathbb{R}$.

Deje $g(s,t)=\begin{cases}1&\text{ if }s\leq t\\0&\text{ otherwise}\end{cases}$.

Cuando nos fix $t$, el interior de la variable del interior de la integral rangos de$a$$t$, y por lo que puede escribirse como $$\int_a^tf(s,t)ds=\int_a^b g(s,t)f(s,t)ds$$ Por lo que podemos rewritte la integral doble como $$\int_a^b\int_a^tf(s,t)dsdt=\int_a^b\int_a^bg(s,t)f(s,t)dsdt$$ Ahora aplicar Fubini: $$\int_a^b\int_a^tf(s,t)dsdt=\int_a^b\int_a^bg(s,t)f(s,t)dtds$$ Loog en el interior de la integral en el lado derecho, es decir, por un determinado $s$, tenemos $$\int_a^b g(s,t)f(s,t)dt=\int_s^bf(s,t)$$ por definición de $g$, y por lo tanto $$\int_a^b\int_a^tf(s,t)dsdt=\int_a^b\int_s^bf(s,t)dtds$$ Hemos aplicado lo anterior a $f(s,t)=|f_n(s)-f_m(s)|$.