¿Electrón con masa efectiva posición dependiente en campo magnético - no hermítica hamiltoniano?

Question

En heteroestructuras de semiconductores es importante tratar el caso de la posición dependiente de la masa efectiva. El (la mayoría) aceptó en forma de energía cinética del operador en este caso es:

$$ \hat{T}=- \frac{\manejadores^2}{2} \nabla \left( \frac{1}{m^*(\vec{r})} \right) \nabla $$

Sin embargo, para la electrónica de bajo campo magnético con el vector potencial de $\vec{A}$ y la constante de masa efectiva la correcta de la energía cinética del operador es:

$$ \hat{T}=\frac{1}{2m^*} \left(-i \manejadores \nabla+\frac{e}{c} \vec{A} \right)^2 $$

Este operador es Hermitian, ya que elementos de la matriz de la parte imaginaria son antisimétrica (al menos en las bases he comprobado), porque se necesita un gradiente de una función de onda:

$$ -i \frac{\manejadores e}{m^* c} \vec{A}\nabla \Psi $$

Ahora, ¿cómo podemos tratar el caso general con el campo magnético y de la PDEM? Generalmente, se hace de esta manera:

$$ \hat{T}=\frac{1}{2}\left(-i \manejadores \nabla+\frac{e}{c} \vec{A} \right) \frac{1}{m^*(\vec{r})} \left(-i \manejadores \nabla+\frac{e}{c} \vec{A} \right) $$

O, al menos, en la mayoría de los trabajos que he visto (como aquí y aquí).

Pero este operador, en general, no es Hermitian.

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Segunda actualización

Permítanme aclarar:

Puedo solicitar el anterior operador para una función de onda. Omito las constantes.

$$ \left(-i \nabla+\vec{A} \right) \frac{1}{m} \left(-i \nabla+\vec{A} \right) \Psi= $$

$$ =\left(-i \nabla+\vec{A} \right) \left(-i \frac{1}{m} \nabla \Psi+ \frac{1}{m} \vec{A} \Psi \right)= $$

$$ =-\nabla \left( \frac{1}{m} \nabla \Psi \right)-i \nabla \left( \frac{1}{m} \vec{A} \Psi \right)-i \frac{1}{m} \vec{A} \nabla \Psi+\frac{1}{m}^2 \Psi= $$

$$ = \left[- \frac{1}{m} \Delta \Psi - \left( \nabla \frac{1}{m} \right) \left( \nabla\Psi \right) +\frac{1}{m}^2 \Psi \right] - i \left[ 2 \frac{1}{m} \vec{A} \nabla \Psi + \vec{A} \left( \nabla \frac{1}{m} \right) \Psi + \frac{1}{m} \left( \nabla \vec{A} \right) \Psi\right] $$

Ahora los dos primeros términos son idénticos al caso con ningún campo magnético, y se Hermitian juntos. El tercer término es obviamente Hermitian. El cuarto término de (el primer término de la parte imaginaria) es también Hermitian.

Tengo el problema con los dos últimos términos:

$$ \hat{X}=-i \left( \vec{A} \left[ \nabla \frac{1}{m} \right]+\frac{1}{m} \left[ \nabla\vec{A} \right] \right) \Psi $$

La función de onda es simplemente multiplica por este operador. Es decir, si tomamos:

$$ <\Psi_l | \hat{X}| \Psi_n> $$

Será simétrica en $l \leftrightarrow n$ exchange, por lo que la matriz resultante no será Hermitian, a menos que:

$$ \vec{A}(\vec{r}) \left[ \nabla \frac{1}{m^*(\vec{r})} \right]+\frac{1}{m^*(\vec{r})} \left[ \nabla\vec{A}(\vec{r})\right]=0 $$

Nota, que $\Psi$ es real en las bases que yo uso.

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Edición 3

Ahora que finalmente lo consigue. Puedo usar integración por partes esta manera:

$$ i \int^{+\infty}_{-\infty} \Psi_l \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{m} A_x \Psi_n \right) dx =i \int^{+\infty}_{-\infty} \Psi_l d \left( \frac{1}{m} A_x \Psi_n \right) = $$

La integración por partes y descartando los valores de límite (ya que ellos son iguales a cero, de todos modos en el caso relevante para mí):

$$ =-i \int^{+\infty}_{-\infty} \Psi_n \frac{1}{m} A_x d\Psi_l = - i \int^{+\infty}_{-\infty} \Psi_n \frac{1}{m} A_x \frac{d\Psi_l}{dx} dx $$

La pregunta es contestada gracias a @ValterMoretti

Answer 1

Yo de ahora en adelante omitir todos los no esenciales constante. El operador es $$T= \sum_{j=1}^3 (-i\partial_j +A_j) \frac{1}{m} (-i\partial_j +A_j) \:,$$ donde $A_j=A_j(t,\vec{x})$ $m=m(\vec{x})$ se dan verdaderos valores delas funciones. Nuestra tesis es que, para $\phi,\psi$ suficientemente regular, $$\langle \phi | T \psi \rangle = \overline{\langle \psi | T\phi \rangle}\:,$$ la barra denota el complejo de la conjugación. En vista de las propiedades de la Hermitian producto escalar, la identidad anterior es equivalente a $$\langle \phi | T \psi \rangle = \langle T\phi | \psi \rangle\:.\tag{1}$$ Vamos a demostrar (1). $$\langle \phi | T \psi \rangle = \int_{\mathbb R^3} \overline{\phi(\vec{x})} \sum_{j=1}^3 (-i\partial_j +A_j) \frac{1}{m} (-i\partial_j +A_j) \psi(\vec{x}) d^3x$$ $$= \sum_{j=1}^3 \int_{\mathbb R^3} \overline{\phi(\vec{x})} (-i\partial_j +A_j) \frac{1}{m} (-i\partial_j +A_j) \psi(\vec{x}) d^3x$$ $$= \sum_{j=1}^3 \int_{\mathbb R^3} \left(\overline{ (-i\partial_j +A_j)\phi(\vec{x})}\right) \frac{1}{m} (-i\partial_j +A_j) \psi(\vec{x}) d^3x \etiqueta{2}$$ donde he utilizado, en particular, la integración por partes y descartar un límite de plazo, $$\int_{\mathbb R^3} \overline{\phi(\vec{x})} (-i\partial_j) \frac{1}{m} (-i\partial_j +A_j) \psi(\vec{x}) d^3x = \int_{\mathbb R^3} (+i\partial_j \overline{\phi(\vec{x})}) \frac{1}{m} (-i\partial_j +A_j) \psi(\vec{x}) d^3x $$ $$= \int_{\mathbb R^3} (\overline{ -i\partial_j \phi(\vec{x})}) \frac{1}{m} (-i\partial_j +A_j) \psi(\vec{x}) d^3x\:. $$ Vamos con la última línea en (2), nos encontramos con $$\langle \phi | T \psi \rangle = \sum_{j=1}^3 \int_{\mathbb R^3}\left( \overline{ (-i\partial_j +A_j)\phi(\vec{x})}\right) \frac{1}{m} (-i\partial_j +A_j) \psi(\vec{x}) d^3x$$ $$= \sum_{j=1}^3 \int_{\mathbb R^3}\left( \frac{1}{m} \overline{ (-i\partial_j +A_j)\phi(\vec{x})}\right) (-i\partial_j +A_j) \psi(\vec{x}) d^3x$$ $$= \sum_{j=1}^3 \int_{\mathbb R^3}\left( (i\partial_j +A_j) \frac{1}{m} \overline{ (-i\partial_j +A_j)\phi(\vec{x})}\right) \psi(\vec{x}) d^3x$$ $$= \sum_{j=1}^3 \int_{\mathbb R^3}\left( \overline{ (-i\partial_j +A_j) \frac{1}{m} (-i\partial_j +A_j)\phi(\vec{x})}\right) \psi(\vec{x}) d^3x$$ $$= \int_{\mathbb R^3}\left( \overline{ \sum_{j=1}^3 (-i\partial_j +A_j) \frac{1}{m} (-i\partial_j +A_j)\phi(\vec{x})}\right) \psi(\vec{x}) d^3x$$ $$= \langle T\phi|\psi \rangle\:.$$ Hemos obtenido (2) como se quería.