Masa-resorte-Péndulo "a través de las Leyes de Newton"

Question

Buenas noches a todos:

Tengo un problema aquí, que yo SEPA cómo resolver utilizando Lagragian Dinámica. Pero, realmente quiero saber cómo resolver utilizando el Vector de descomposición, las Leyes de Newton, de primer año de la física y así sucesivamente..... Yo realmente apreciar consejos y sugerencias, tanto de la matemática y la física. NO QUIERO UNA SOLUCIÓN O PASO-POR-PASO.

Gracias.

(*) La "motivación" de mi pregunta es que a menudo escuchamos que la Dinámica Lagrangiana es más General y más poderoso que el de Newton Enfoque. Es cierto. Pero, yo quiero ver por mí mismo que es cierto. En este problema en particular, lo que es más difícil que la base de Newton problemas, la solución es difícil (?) pero aún así "posible".

(**): Los conceptos de trabajos forzados,de amortiguamiento,simple y junto oscilador está bastante claro para mí y básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias así.

Answer 1

Un buen comienzo es hacer un diagrama de cuerpo libre de todas las partes. Marca conocida y fuerzas desconocidas. Recuerde que si usted tiene una fuerza de $\mathbf{F}$ en una sola parte en el punto de contacto con otra parte, en el contacto con la parte que tiene una fuerza de $-\mathbf{F}$. A continuación, establezca una ecuación diferencial para el movimiento dado el total de las fuerzas en la parte(s) de interés.

Answer 2

Has hecho el primer paso, y eso es reconocer los grados de libertad del sistema ( $x$ $\theta$ ). Permite llamar al cuerpo de bloque [1] y en la esfera del cuerpo [2] y la longitud de la varilla $\ell$.

• Cinemática
  • Expresar la posición de las articulaciones y de los centros de masa en función de los grados de libertad. Por ejemplo, $$ {\bf r}_{2} = ( x + \ell \sin \theta, -\ell \cos \theta,0)$$
  • Expresar las velocidades de rotación en una manera similar a la de $$ {\boldsymbol \omega}_2 = \dot{\theta} {\bf \hat{z}} $$
  • Tomar el total derivado de la posición para encontrar la velocidad y la aceleración de los centros de masa. Por ejemplo $${\bf v}_2 = (\dot{x} + \dot{\theta} \ell \cos\theta, \dot{\theta} \ell \sin \theta,0)$$ and $${\bf a}_2 = (\ddot{x} + \ddot{\theta} \ell \cos\theta - \ell \dot{\theta}^2 \sin \theta, \ddot{\theta} \ell \sin \theta + \ell \dot{\theta}^2 \cos \theta,0)$$
  • Tomar el total derivado de la velocidad de rotación para la aceleración de rotación $${\boldsymbol \alpha}_2 = \ddot{\theta}{\bf \hat{z}} $$
• La dinámica de la
  • Hacer un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo y la suma de las fuerzas sobre cada cuerpo y los pares acerca de cada centro de masa de cada cuerpo. Para cada conjunto de aplicar adecuado de las fuerzas de reacción en el siguiente cuerpo, e iguales y opuestas en la anterior. Por ejemplo (teniendo en cuenta la tensión de la $T$, la fricción $f_1$ y la fuerza normal $n_1$) $$\begin{align} \Sigma {\bf F}_1 & = {\bf T}_{12} + {\bf W}_1 & \Sigma {\bf F}_2 & = -{\bf T}_{12} + {\bf W}_2 \\ & = \begin{pmatrix} T \sin\theta+f_1 \\ -T \cos\theta-m_1 g+n_1 \\ 0 \end{pmatrix} & & = \begin{pmatrix} -T \sin\theta \\ T \cos\theta-m_2 g \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} $$ _{${\bf W}$ designa las fuerzas aplicadas y ${\bf T}$ interna de las fuerzas conjuntas}
  • Las ecuaciones de movimiento $$ \begin{align} \Sigma {\bf F}_1 & = m_1 {\bf a}_1 &\Sigma {\bf F}_2 & = m_2 {\bf a}_2 \\ \Sigma {\bf M}_1 & = I_1 {\boldsymbol \alpha}_1 + {\boldsymbol \omega}_1 \times I_1 {\boldsymbol \omega}_1 & \Sigma {\bf M}_2 & = I_2 {\boldsymbol \alpha}_2 + {\boldsymbol \omega}_2 \times I_2 {\boldsymbol \omega}_2 \end{align} $$ _{Se debe tener cuidado en 3D problemas para expresar el momento de inercia de la matriz a lo largo de las coordenadas del mundo y no el cuerpo de coordenadas. $I = {\rm R} I_{body} {\rm R}^\top$}