¿Existe una matriz $\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{3\times3}$ tal que $\mathbf{A}^{2}=-\mathbf{I}$?

Question

Es posible que una matriz $\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{3\times3}$,

$$\mathbf{A}^2=-\mathbf{I}$$

Sé que es posible para $2\times2$ matriz, pero es posible que $3\times3$ de la matriz ?

Answer 1

Al $A$ $n\times n$ real de la matriz, es posible si y sólo si $n$ es incluso.

1. Si $n$ es impar, entonces $\det(A^2)=(\det A)^2\ge 0$ pero $\det(-I)=-1$, lo $A^2=-I$ es imposible.
2. Si $n$ es incluso, se puede construir a $A$ desde el caso de $n=2$ fácilmente.

Answer 2

Tomar el determinante de ambos lados. Usted encontrará que $(\det A)^2=-1$, de modo que $\det A=\pm i$, lo que es imposible para el real $A$. (Pero trivial complejas $A$.)

Answer 3

No. Para $3\times 3$ matrices, el determinante de a$-\mathbf{I}$$-1$, e $\mathrm{det}(\mathbf{AA}) = \mathrm{det}(\mathbf{A})^2$ es siempre no negativo.

Por supuesto, si usted permite que los números complejos, entonces la respuesta es sí, por ejemplo, si $\mathbf{A} = i\mathbf{I}$.

Answer 4

La respuesta es no en $\mathbb{R}^{3\times 3}$. Recordemos que $\det AB=\det A\det B$ si $\det AA=\det -I$ $(\det A)^2=-1$ pero $\det A$ es un número real para todos los $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$, por lo que ninguna de dichas $A$ puede existir.

Esto se extiende fácilmente a todos los impares $n$ $\mathbb{R}^{n\times n}$ y también sugieren que existen soluciones en $\mathbb{C}^{n\times n}$. En particular, la matriz de $A=\text{diag}(i,\ldots, i)$ tiene la propiedad de que $A^2=-I$.

Answer 5

Aquí es un argumento sin usar determinante o autovalores (sí, este es un deliberadamente respuesta complicada). Podemos demostrar por contradicción. Supongamos $A^2=-I_3$. Tome $x\neq0$ y deje $y=Ax$. Si $y=kx$ algunos $k\in\mathbb{R}$, luego $$k^2x=ky=kAx=A(kx)=Ay=A^2x=-x\ \Rightarrow\ k^2=-1,$$ lo cual es imposible. Por lo tanto, $x$ $y$ son linealmente independientes. Ampliar a una base $\{x,y,z\}$$\mathbb{R}^3$. Deje $w=Az$. Por un razonamiento similar, $z$ $w$ son linealmente independientes y, por tanto,$w\neq0$. Por lo tanto $$w=ax+by+cz\tag{1}$$ para algunos $(a,b,c)^T\in\mathbb{R}^3\setminus0$. A continuación,$-z=Aw=A(ax+by+cz)=ay-bx+cw$, es decir, $$cw=bx-ay-z.\tag{2}$$ Como $x,y,z$ son linealmente independientes, $c\neq0$. Por lo tanto, $(2)$ implica que $$w=\frac{b}{c}x-\frac{a}{c}y-\frac{1}{c}z.\tag{3}$$ La comparación de los coeficientes de $z$$(1)$$(3)$, obtenemos $c=-\frac1c$, lo cual es imposible. Por lo tanto no existe una verdadera matriz $A$ tal que $A^2=-I_3$.