Número de la combinación de elementos irreductibles de una celosía: es monótono?

Question

Deje $\mathcal L$ ser una sub-red de $\mathcal P(X)$ donde $X$ es un conjunto finito.

Denotar por $\mathcal I(\mathcal L)$ el conjunto de la unión irriducible elementos de $\mathcal L$ ($A\in \mathcal I(\mathcal L)$ fib $A\in\mathcal L$ y no es posible escribir $A$ como una unión de otros elementos de $\mathcal L$).

Es cierto que $card(\mathcal I(\mathcal L))\leq card(X)$ ?

Edit. Un punto importante es que el $\mathcal I(\mathcal P (X))=X$. Por lo tanto, es posible reformular la pregunta en términos generales de la siguiente manera: vamos a $\mathcal L'$ ser finito distributiva rejilla y deje $\mathcal L$ ser una sub-red de $\mathcal L'$, es cierto que $card (\mathcal I(\mathcal L)) \leq card (\mathcal I(\mathcal L'))$ ?

Answer 1

Sí, $\operatorname{card}(\mathcal I(\mathcal L))\le\operatorname{card}(X)$. Para cada una de las $x\in\bigcup\mathcal L$, vamos a $M_x=\bigcap\{A\in\mathcal L:x\in A\}$, el menor elemento de a $\mathcal L$ contiene $x$. Claramente $M_x$ es la combinación de irreductible. Estos son sólo la combinación de elementos irreductibles: si $A\in\mathcal L$$A=\bigcup\{M_x:x\in A\}$, lo $A$ es no unirse-irreductible a menos $A=M_x$ algunos $x\in A$.

De manera más general, supongamos $\mathcal L$ es una sub-red de un número finito de celosía distributivo $\mathcal L'$, y deje $1_\mathcal L$ ser el mayor elemento de $\mathcal L$. Para cada una de las $a\in\mathcal I(\mathcal L')$$a\le1_\mathcal L$, definir $\hat a=\bigwedge\{x\in\mathcal L:a\le x\}$; a continuación,$a\le\hat a\in\mathcal I(\mathcal L)$.

A ver que $\hat a$ es la combinación de irreductible en $\mathcal L$, supongamos $\hat a=b\vee c$ algunos $b,c\in\mathcal L$. Por distributividad, $a=ab\vee ac$; desde $a$ es la combinación de irreductible en $\mathcal L'$, $a=ab$ o más $a=ac$. Decir $a=ab$; a continuación,$b\in\{x\in\mathcal L:a\le x\}$, lo $\hat a\le b\le\hat a$, lo $\hat a=b$.

Para cualquier $b\in\mathcal L$ tenemos $b=\bigvee\{a:a\in\mathcal I(\mathcal L'),\ a\le b\}=\bigvee\{\hat a:a\in\mathcal I(\mathcal L'),\ a\le b\}$; si $b$ es la combinación de irreductible en $\mathcal L$, $b=\hat a$ algunos $a\in\mathcal I(\mathcal L')$. Por lo tanto $$\mathcal I(\mathcal L)=\{\hat a:a\in\mathcal I(\mathcal L'),\ a\le1_\mathcal L\}$$ y así $$\operatorname{card}(\mathcal I(\mathcal L))\le\operatorname{card}(\{a\in\mathcal I(\mathcal L')):a\le1_\mathcal L\})\le\operatorname{card}(\mathcal I(\mathcal L')).$$

Answer 2

Voy a responder a la segunda pregunta. La respuesta es "Sí".

Prueba:

Escribir $\mathbf{FinPos}$ para la categoría de finito de posets y isótono mapas y $\mathbf{FinDL}$ para la categoría de finito distributiva celosías con la parte superior e inferior de la preservación de celosía homomorphisms.

Las categorías $\mathbf{FinPos}$ $\mathbf{FinDL}$ son doblemente equivalente, en otras palabras $\mathbf{FinPos}^{op}\simeq \mathbf{FinDL}$. Uno de los functors es $\mathcal I:\mathbf{FinDL}\to\mathbf{FinPos}^{op}$. La incrustación $j:\mathcal{L}\to \mathcal L'$ es inyectiva, por lo tanto, un monomorphism en $\mathbf{FinDL}$. Por lo tanto $\mathcal I(j):\mathcal I(\mathcal L)\to \mathcal I(\mathcal L')$ es un monomorphism en $\mathbf{FinPos}^{op}$. Pero eso solo significa que $\mathcal I(j):\mathcal I(\mathcal L')\to \mathcal I(\mathcal L)$ es un epimorphism en $\mathbf{FinPos}$. Cada epimorphism en $\mathbf{FinPos}$ es surjective.

Por lo tanto, $card (\mathcal I(\mathcal L)) \leq card (\mathcal I(\mathcal L'))$.

Claramente, esto implica que la respuesta a la primera pregunta es "Sí".

Answer 3

Voy a esbozar otra prueba de que la respuesta a la segunda pregunta es "Sí". Este es mucho más sencillo y da otra visión.

Fijar un máximo de la cadena de $C$ en un número finito de celosía distributivo $\mathcal L'$. Deje $m:\mathcal I(\mathcal L')\to C$ ser una asignación dada por la regla de $$ m(a)=\wedge\{x\in C:x\geq un\} $$ A continuación, $m$ es un bijection (para la prueba de esta afirmación véase el corolario 112 en Grätzer del libro).

Claramente, la máxima de las cadenas de $\mathcal L$ son subconjuntos de máxima cadenas de $\mathcal L'$.

Answer 4

Otra prueba se basa en el hecho de que una combinación irreductible elemento tiene un único inferior al prójimo.

Deje $A⊆X$ $B⊆X$ $A≠B$ dos irreducibles en $\mathcal L$. Vamos a seguir para cualquier elemento $A∈\mathcal L$ el operador $'$ ser definido por $$ A'= A\setminus ⋃ \{Y∈\mathcal L\mid Y⊂A\} $$

De $\mathcal L⊆\mathcal P(X)$ sabemos que $$ ⋃\{Y'\mid Y∈\mathcal I(\mathcal L)\} ⊆ X $$

Luego de dos irreducibles $A,B∈\mathcal I(\mathcal L)$ obtenemos las ecuaciones $A'∩B' = A'∩B = A∩ B'=∅$ como también la intersección $A∩B∈\mathcal L$ ha sido sustraída tanto de$A'$$B'$. Por otro lado $A'≠∅$ y $B'≠∅$ mantener, porque son irreducibles. Así el conjunto $$ \{Y'\mid Y∈\mathcal I(\mathcal L)\} ∪ \bigl\{ X\setminus ⋃\{Y'\mid Y∈\mathcal I(\mathcal L)\} \bigr\} $$ es una partición de a $X$. Como el operador $'$ es inyectiva para irreducibles, obtenemos la desigualdad $$ tarjeta\bigl(\mathcal I(\mathcal L)\bigr) = tarjeta\bigl(\{Y'\mid Y∈\mathcal I(\mathcal L)\}\bigr)≤card(X). $$ Como cada celosía es isomorfo a la celosía de sus principales ideales de esta condición es verdadera para cualquier finito de celosía.

Si no me equivoco, este hecho es cierto para cualquier red que puede ser completamente descrito por sus unirse irreducibles y todos los de su sublattices, no sólo finita.