Cuando se la gavilla cohomology grupos $H^i(X, \mathcal{F}) \otimes \mathbb{Z}/p^n \simeq H^i(X, \mathcal{F} \otimes \mathbb{Z}/p^n)$?

Question

Como sugiere el título, me gustaría entender cuando tensoring con un módulo, en particular, $\mathbb{Z}/p^n$ viajes con la toma de gavilla cohomology - cuando interpretamos esto como tensoring con la constante gavilla $\mathbb{Z}/p^n$. Parece que la gente utilice las declaraciones gusta mucho, pero estoy teniendo problemas para justificar por qué no es cierto; cualquier ayuda sería muy apreciada!

edit: he Aquí una condición: Si podemos cubrir la $X$ conectados afín conjuntos de $U_i$ (conectado significa $\Gamma(U_i, \mathcal{F} \otimes \mathbb{Z}/p^n) \simeq \Gamma(U_i, \mathcal{F}) \otimes \mathbb{Z}/p^n$) donde $\Gamma(U_i, \mathcal{F})$ $\mathbb{Z}/p^n$ plana, entonces podemos calcular cohomology en la Cech complejo:

$$0 \to \prod \:\Gamma(U_i, \mathcal{F}) \otimes \mathbb{Z}/p^n \to \prod \Gamma(U_{ij}, \mathcal{F})\otimes \mathbb{Z}/p^n \to \ldots$$

y por planitud el tensor de viajes con cohomology.

Answer 1

Hay una breve secuencia exacta de las poleas $$0\to\mathcal{F}\stackrel{p^n}\to\mathcal{F}\to\mathcal{F}\otimes\mathbb{Z}/p^n\to 0$$, que da una larga secuencia exacta de cohomology $$\dots\to H^i(X,\mathcal{F})\stackrel{p^n}\to H^i(X,\mathcal{F})\to H^i(X,\mathcal{F}\otimes\mathbb{Z}/p^n)\to H^{i+1}(X,\mathcal{F})\stackrel{p^n}\to H^{i+1}(X,\mathcal{F})\to\cdots.$$

El cokernel de $H^i(X,\mathcal{F})\stackrel{p^n}\to H^i(X,\mathcal{F})$$H^i(X,\mathcal{F})\otimes\mathbb{Z}/p^n$, y así el natural mapa $$H^i(X,\mathcal{F})\otimes\mathbb{Z}/p^n\to H^i(X,\mathcal{F}\otimes\mathbb{Z}/p^n)$$ is an isomorphism iff the map $H^{i+1}(X,\mathcal{F})\stackrel{p^n}\H^{i+1}(X,\mathcal{F})$ is injective. That is, iff $H^{i+1}(X,\mathcal{F})$ has no $p$-torsión.