Probar que si $(m - 1)! + 1$ es divisible por $m$, $m$ es una de las principales con el $(m - 1)! = 1.2.3...(m - 2)(m - 1)$

Question

$m$ es un entero positivo, y $ m > 1$,
Probar que si $(m - 1)! + 1$ es divisible por $m$, $m$ es una de las principales.

Solucionar haciendo una contradicción.
Mi inglés no es tan bueno. Por favor, ayudar y gracias por su atención :)

Answer 1

Deje $m$ ser un entero positivo $> 1$. Mostrar que si $(m-1)! + 1$ es divisible por $m$, $m$ es un primo.

SUGERENCIAS

1. Supongamos, por el bien de la contradicción, que $m$ no es primo. A continuación hay algunos de los mejores $p<m$ tal que $m = pk$, es decir, que los $p \mid m$.
2. Desde $p \mid m$, podemos decir algo acerca de la $p$ dividir o no dividiendo $(m-1)!$.
3. En general, si un número $a>1$ divide a otro número $b>1$, entonces no podemos tener ese $a \mid (b+1)$, como en la típica la prueba de la infinitud de los números primos.

Answer 2

Si $m$ no es un número primo, entonces es obvio que contiene algunos de los mejores del factor de $m'$ tal que $1<m'<m$. Por lo tanto $m'|(m-1)!$. Luego se le da $m'|(m-1)!-1$, se deduce que el $m'|1$ lo cual es imposible.

Answer 3

Si m no es primo, se tiene un divisor primo $p<m\implies p≤m-1$, por lo tanto $p\mid(m-1)!$.

Pero como $p\mid m$$m\mid((m-1)!+1)$, $p\mid((m-1)!+1)$

$\implies p\mid((m-1)!+1-(m-1)!)$ $q\mid a$ $q\mid b\implies q\mid (ax+by)$ donde $a,b$ son cualquier enteros.

$\implies p\mid 1\implies m$ no puede tener un divisor de p tal que $1<p≤m-1$, por lo tanto $m$ debe ser un primo.

Answer 4

Si $m$ divide $(m-1)!+1$ existe $k \in \mathbb{Z}$ tal que $(m-1)!+1=km$$-(m-1)!+km=1$. A partir de la identidad de Bézout, se deduce que para todos los $n <m$, $n$ y $m$ son relativamente primos ($n$ aparece en el producto $(m-1)!$). Por lo $m$ es necessarly prime.